LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

rieur au triangle ACD, est égal (74) à la sopime des angles inscrits ADC, ACD, qui ont respectivement pourfnesure ? BG et i B£.

THÉOBÈBIE.

132. Tout emgie BAC, formé par deux Uemtet qui se rencontrent hors du cercler a pour mesure la demi-différence de tare concave BG et de l'arc convexe DE compris entre ses côtés

{fis-

En effet» en menant DG, on voit que Tangle BDG, extérieur au triangle DAG, est la somme des angles et G; par suite, l'angle A est l'excès de l'angle BDC sur l'angle G; sa mesure est donc l'excès de |BG sur i DE, c'esiri-dire i [BG — DE).

En disant tourner autour du sommet A l'un des côtés, ou même les deux côtés de l'angle, jusqu'à ce qu'ils deviennent tangents à la circonférence, on voit que le théorème subsiste pour l'angle formé par une langenie et une sécante qui se coupent hors du cercle, et pour l'angle de deux tangentes.

Scoux.

133* Dans Us portion de plan située au-dessus é^une droite BG, le tieu des points d'oA Von voit cette droite sous un angle donné est un arc de cercl^ passant parHes extrémités B el G de cette droite [fig. 90]. .

En effet, soient A un point du lieu ei BMACN la circonférence déterminée par lestrois points A, B, G. 1° De tout point M de l'arc BMAC, on voit la droite BC sous un angle égal à BAC ( 130); a° de tout point I pris à l'intérieur du segment BMAC, on voit la droite BG sous un angle BIC plus grand que BAG, puisque (I3i) sa mesure excède la moitié de l'arc BNG; S** de tout point E extérieur au segment BMAC et situé au-dessus de la droite BG, on voit cette droite sous un angle BEG moindre que BAG, puisque sa mesure est plus petite que la moitié de l'arc BNG (132). L'arc BMAG est donc le lieu cherché.

U résulte de là que l'arc BA'G, sur lequel s'applique l'arc BMAG lorsqu'on replie la figure autour de BG, est, au-dessous de BG, le liei^ des points d'où Ton voit la droite BG sous l'angle donné.

Donc enfin, le lieu des points d'où l'on voit une droite BO $ou$un angle donné se compose de deux arcs de cercle éfçaux enire eux et passant par les- extrémités B etCde cette droite,

Fig. go. Fifi. D'*

Remarquons, en outre, que l'ensemble des arcs BNC, BN'C, représente le lieu des points d'où l'on voit la droite BG sous un angle supplémentaire de l'angle considéré (130).

Si l'angle considéré est droit, les deux arcs BAC, BA'C, sont des demi-circonférences décrites sur BC comme diamètre. Donc, le lieu des points d'oà l'on voit une droite sous un euigU droit est le cercle décrit sur cette droite comme diamètre»

THÉORÈME

13^. Dans tout quadrilatère convexe inscrit dans an cercle, les angles opposés sont supplémentaires.

En effet {^fîg. gi ), considérons par exemple les angles opposés, B et D. La corde AC détermine deux segments ADC, ABC, et nous avons vu (130) que tout angle D inscrit dans le segment supérieur est le supplément de tout angle B inscrit dans le segment inférieur.

RtGiPROQUBnMT, si, dans un quadrilatère convexe ÂBGD {Jig, 91 ), deux angles opposés B et1> sont supplémentaires, le quadrilatère est inscriptible; en d'autres termes, la circonférence déterminée par les trois points A, B, G, passera par le quatrième sommet D.

En effet» le sommet D est un point situé au-dessus de AG, et d'où Ton voit la corde AG sous un angle supplémentaire de l'angle B ; or l'arc AMC est le lieu des points du plan qui jouissent de celte propriété (133J.

UYRB U. — LA GIRGOMFÉRENCB DS CfiRCLfi. 75

EXERGCES.

1. Â, B, C, étant trois points quelconques d'une circonférence, D le milieu de larc AB, et £ le milieu de Tare AC, la droite DE coupe respectiyement en F et en G les cordes AB et AC. Démontrer qae AF s= AG.

2. A étant un point quelconque d'un diamètre, B l'eitrémité du rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène BA qui oonpe le cercle en P, puis la tangente an point P qui coupe en G le diamètre prolongé. Démontrer que GA 3= CP.

3. Les hauteurs AA', BB', GC', d'un triangle quelconque ABC, sont les bissectrices des angles du triangle A'BX'.

4. ABC étant un triangle inscrit dans iin cercle, on joint le centre 0 au milieu D de l'arc BG, et Ton mène AD» Démontrer que Tangle ADO est la moitié de la différence des angles B et C

5. Si par le point A, commun à deux circonférences qui se coupent, on mène i volonté deux sécantes ABG, ADE, les cordes BD et GB qui joignent leurs extrémités se rencontrent sous un angle constant. — Dans le cas où les deux sécantes se confondent , comment fiiut-il énoncer le théorème?

6. Si, par le point dHntersection 0 des diagonales d'un quadrilatère inscrit ABCD, on mène la corde EOF qui a son milieu en 0, la partie de

cette corde iiiterreptéo entre les côtés opposés du quadrilatère sera aussi divisée par le point 0 en deux parties égales.

7. Si par le point A, milieu d'un arc BAC d'une circonférence, on • mène deux cordes quelconques AD et AE qui coupent en F et en G la corde BC, le quadrilatère DFGE est inscriptible.

8. Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on construit extérieurement à ce triangle les triangles équilatéraux ABC', ACB', BCA'. Démontrer : I** que les trois droites AA', BB', CC, sont égales; i" qu'elles concourent en un même point 0; 3" que du point 0, on voit sous le môme angle les trois côtés du triangle ABC.

9. Par un point fixe pris dans le plan d'un cercle, On mène diverses cordes : trouver le lieu des militMix de ces cordes.

40. Par l'une des extrémités d'un diamètre AB d'un cercle, on mène une corde quelconque .AC que l'on prolonge d'une quantité CM égale à CB : quel est le lieu des points M?

11. ABC étant un triangle équilatéral, quel est le lieu des points M, tels que MA = MB + MC?

12. Trouver le lieu des points tels, que si l'on abaisse do l'un d'eux . des perpendiculaires sur les trois côtés d'un triangle fixe, les trois pieds

de CCS perpendiculaires soient en ligne droite.