LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

i« Soient AOBy A'O'B'» deux angles au centre, égBiU% entre eux; les deux arcs correspondants AB et A'B' seront égaux. £n effet, en menant les cordes AB, A'B',on forme deux triangles AOB9 A'O'B'y qui sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : l'angle AOB égal & l'angle A'O'B' par hypothèse, et les côtés OA=0'A', OB=0'B', comme rayons de cercles égaux. Donc la corde AB est égale à la corde AfB', et, par suite (96), les arcs AB et A'B' que ces cordes sous-tendent sont égaux entre eux.

af" Soient A'O'B' et BOC deux angles au centre; transportons le premier en AOB à la suite du second, de manière à former (9) un angle AOC qui soit la somme des deux angles proposés. L'arc ABC sera évidemment (89) la somrue des deux arcs AB et BC, et comme les arcs AB et A'B' sont égaux, puisqu'ils correspondent à des angles au centre égaux, l'arc ABC sera la somme des arcs A'B' et BC.

THÉORÈME

12i .L*an^ au centre d*un cercle est proportionnel à tare correspondant $ en d'autres termes, dans le même cercle ou >

dam des cercles égaux, le rapport ^ de deux angles au centre est égal au rapport ^ des arcs qu'ils interceptent,

£n effet, supposons que le rapport des deux angles soit

3 3 g» c'est-à-dire que l'angle a soit les ^ de l'angle a'. £a désignant par a le cinquième dé l'angle a', on aura alors

a = 3oc et a'=5a»

Mais, si l'on appelle 6 l'arc intercepté par l'angle <z, aux angles

au centre

ac-l-aOua«, aa+a ou 3a, 3aH-aOu4«, ia-i-ec ou 5a,

correspondront respectivement (123, 2**] les arcs

6+6 ou a€, 26+6 ou 36, 36+6 ou 4^f 4^+6 ou 56.

Or, par hypothèse, les arcs qui correspondent aux angles au

68 GÉOM&TEIE PLÀr4E.

centre 3«e ou a et 5x ou a' sont b et 6' ; on aura donc

6 = 36 et 6' = 56,

d'où ( i20 )

SOOLIB. ^

125. Le raisonnement qui précèilc ne s'applique pas seulement aux angles au centre et aux arcs qu'ils interceptent. Il permet de démontrer d'une manière générale le théorème suivant :

Deux grandeun sont proportionnelles l'une à l'autre si, à deux valeurs quelconques, mais égales, de la première granr deur, répondent deux valeurs égales de la seconde; et si, de plus, à la somme de deux valeurs quelconques de la première répond une valeur qui soit la somme des deux valeurs correS' pondantes de la seconde.

£n effet, soient a et a' deux valeurs quelconques de la première grandeur, et 6 et 6' les deux valeurs correspondantes de

la seconde. Supposons que le rapport ~ soit, par exemple, 3 3

g) c'est-à-dire que a soit les ^ de a'. En désignant par « le cinquième de a', on aura alors

as=Za et a' = 5a.

Hais, si Ton appelle 6 ta valeur de la seconde grandeur qui répond à la valeur a de la première, aux valeurs

«-f-aouaa, aa+a ou 3a, Za-^-aOVL^ay ^oc-haovLSec,

de la première grandeur, répondent respectivement, en vertu de la loi de correspondance admise, les valeurs

6+6 ou a6, 36+6 ou 36, 36+6 ou 46, i^-i-B ou 56,

de la seconde grandeur. Or, par hypothèse, les valeurs de la seconde grandeur qui répondent aux valeurs 3 a ou a et 5 a ou a' de la première sont b et b'; on aura donc

UYBB II. — LA CIRGOMFtBKHCB I»B CnCLB. 69

d'où

Réciproquement» si deux grandeurs sont proportionnelles : 1* la relation

montre que pour a^a' on a 6 = c'est-à-dire (\\x*àdes valeurs égales de la première grandeur correspondent des valeurs égales de la seconde \ 2^ la même relation donne

c'est-à-dire qu'à la somme de deux valeurs quelconques de la première grandeur correspond la somme des deux valeurs correspondantes de la seconde.

Ainsi, correspondance dans l'égalité et correspondance dans la somme, telles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes de la proportionnalité de deux grandeurs. Si l'une des deux conditions est seule remplie» il n*ya pas proportion^ nalité; c'est ce qui arrive pour un arc ei sa corde : à des arcs égaux d'un même cercle correspondent des cordes égales (95); mais la corde BC de la somme de deux arcs {Jig. 82 ) est

moindre (27) que la somme AB -h AC des cordes de ces arcs.

THÉORÈME

12G. Tout angle a la même mesureque l'arc qu'il intercepte sur une circonférence décrite de son sommet comme centre, avec un rayon quelconque, pourvu que l'on prenne pour unité d'angle l'angle au centre qui intercepte sur cette circonfé^ rence l'arc choisi pour unité d*arCi

En effet, soient {/ig. 82) AOB l'angle à mesurer et AB l'arc qu'il intercepte sur la circonférence do rayon arbiirnire OA; AC éiant l'unité d'arc, l'angle correspondant AOC sera, par hypothèse, l'unité d'angle. On a (124),

AOB arc AB AOC arc AC*

70 GtOVillIIB PLANS.

Or te premier rapport est égal au nombre qui mesure l'an* gle AOB ( 119), et le second est égal au nombre qui mesure

Fig. 83. fig. 83.

l'arc AB. Donc, dans le système d'unités adopté, le nombre qui mesure l'angle AOB est le même que celui qui mesure l'arc AB.

Comme ce théorème est d'un usage très-fréquent, on préfère l'énoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte. D'abord on sous-entend la condition relative à la correspondance des unités; puis on dit a pour mesure, au lieu de a la même mesure que; et l'on arrive ainsi à cet énoncé usuel : tout angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

Scoin.

127. Lorsqu'on prend l'angle droit pour unité, l'arc unité est alors le quart de la circonférence ou le quadrant ; car ^ si l'angle au centre AOB est dvo'n{ fig. 83), les quatre angles AOB, " BOC, COD, DOA, formés par les deux diamètres BOD, AOC, sont droits, et par suite égaux ; les quatre arcs AB,BC, CD, DA, sont donc égaux entre eux, et chacun d'eux est le quart de la circonférence.

THÉORÈMB.

128. Tout angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés»

Soit BAC un angle inscrit dans un cercle 0. Pour démontrer que cet angle a pour mesure la moitié de Tare BG compris entre ses côtés» il convient de distinguer trois cas :

1* Le centre 0 tombe sur l'un des côtés AG de l'angle BAC (fg, Menons le rayon BO; le triangle BOA étant isocèle, les angles A et B sont égaux, et comme (74) leur somme équi-

UTBB II. — LA GHCORFtKBNCl DE CERCLE. 7I

iraut à l'angle extérieur BOC, Taogle A est égal à la moitié deBOG; mais ce dernier angle, aérant son sommet an centre du>

Fig.84. «g. 85. Fig.86.

cercle, a pour mesure Tare BG« Donc l'angle proposé BÂC a pour mesure la moitié de Tare BG.

7!» Le centre 0 tombe à l'intérieur de l'angle BAG l/ig. 85). Menons le diamètre AOD '; l'angle BAG est la somme des angles BAD, DAG, qui, d'après le premier cas, ont respectivement pour mesure ^ BD et 7 DG. La somme de ces deux arcs, c'est-à-dire la moitié de l'arc BBG, est donc la mesure de l'angle BAC.

3° Le ccnire 0 tombe en dehors de l'angle BAC (Jig. 8G). Menons le diamètre AOD; l'angle BAC est la différence des angles BAD, CAD, qui, d'après le premier cas, ont respectivement pour mesure BI) et | CD ; îa différence de ces arcs, c'est-à-dire la moitié de l'arc BC, est donc la mesure de l'angle proposé BAG.

COEOLLAIlBSi

129. Supposons {Jîg, 86) que le côté AC restant fixe, la corde AB tourne autour du sommet A de manière à devenir lu tangente AT au point A ; dans toutes les positions de la corde AB, l'angle inscrit BAC aura pour mesure la moitié de l'arc correspondant BC; donc, à la limite, l'angle TAC, formé par une tangente A'£ et une corde AC issue du point de contact, a pour mesure la moitié de l'arc AG compris entre ses côtés.

On peut d'ailleurs démontrer ce théorème, indépendnmment de toute notion de limite. Il suffit, par exemple, d'observer que l'angle TAG est l'excès de Tangle droit TAD sur l'angle inscrit GAD ; sa mesure est donc l'excès de la moitié de la demi-circonférence ABD sur la moitié de l'arc GD, ou enfin la moitié de l'arc AG.

73 GÉOM&TUB PLàNB,

130. On appelle segment la portion de cercle comprise entre un arc et sa corde. A chaque corde AB correspondent deux segments ACB, AMB (/ig. 87). On dit qu'un angle est inscrit dans un segment lorsque son sommet est situé sur , l'arc du segment et que ses côtés passent par les extrémités de la corde sous-tendante. Ainsi les angles ACB, AEB, sont inscrits dans le segment ACB, et l'angle AMB est inscrit dans le segment AMB.

Tous les an^es inscrits dans un même segment sont égaux ; ainsi» les angles ACB, AEB, sont égaux comme ayant Ton et l'autre la moitié de l'arc AMB pour mesure.

Tout angle inscrit dans Vun des deux segments déterminés par une même corde est le supplément d'un angle quelconque inscrit dans l'autre segment. Ainsi les angles ACB, AMB, soni supplémentaires, car leurs mesures y arc AMB et j arc ACB forment en somme la moitié de la circonférence.

Tout angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, suivant que ce segment est supérieur, égal ou inférieur à un demi-cercle; car l'arc compris entre les cotés de l'angle est alors inférieur, égal ou supérieur à une demi-circonféronce.

On dit qu'un segment de cercle est capable d'un angle donné, lorsque les angles inscrits dans ce segment sont égaux à l'angle considéré ; ainsi le segment capable dun angle droit est un demi-cercle»

Fi|^87. Fi0.88. Fig.89.

4 TBÉORÈMB.

13i. Tout angle BKC, formé par deux sécantes qui se rencontrent à l'intérieur du cercle, a pour mesure la demi-somme des arcs BC et DE compris entre ses côtés et entre ses côtés prolongés ijig' 88 ),

£a effet» en menant DC, on voit que l'angle BAC» exté-