LIVRE II. — LA CIRGONFÉRE.NCE DE CERCLE

être fabriqué à la forme^ le papier â /a mécanique ne résistant | pas à Taction de la gomme élastique.

136. En pratique, lorsqu'on détermine une droite par deux points, il convient que ces deux points ne soient pas trop voisins l'un de l'autre ; sans cela, la moindre erreur sur la position de l'un d'eux entraînerait une erreur notable sur la direction de la droite.

De même, quand un point est déterminé par la renc<inire de deux droites, il faut (^ue ces droites ne se coupent pas sous un angle trop petit; sans cela l'épaisseur inévitable des deux traits laisserait dans l'incertitude sur la véritable position du point de rencontre.

THÉORÈME

137. Trouver la plus grande commune mesure de deux lignes droites.

Soient A et B deux droites eommenturableê entre elles {ii&j, B étant la plus petite. La recherche de leur plus grande commune mesure repose sur les deux principes suivants :

1** Si B est une partie aliquote de A» B est évidemment la plus grande commune mesure de \ et de H;

2* Si a contient m fois B, plus un reste R moindre que B, la plus grande commune mesure de Xet deB est la même que celle de B et de U. On a, en effet,

' AssmB + R;

or, toute commune mesure de A et de B étant une partie aliquote de B Tesl aussi de mB, et, par suite, de A — m B ou de R. Inversement, toute commune mesure de B et de R étant une partie aliquote de'B Test aussi demB, et, par suite, de jnB -f- R ou de A. Donc les communes mesures de A et de B sont les mêmes que celles de B el de R, et, en particulier, la plus grande commune mesure est la même de part et d'autre.

D'après cela, on portera B sur A autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste,. B sera la plus grande commune mesure ^ demandée ; s'il y a un reste R, on sera ramené à chercher la plus grande commune mesure de B et de K. On portera donc

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R sur B autant de fois (jue possible ; s'il n'y a pas de reste, R sera la plus grande commune mesure demandée ; s'il y a un reste H', on sera ramené à chercher la plus grande commune mesure de R et de R'.

11 est aisé de prouver qu'en continuant de la sorte on arrivera à un reste qui sera une partie aliquote du précédent. £n effet, dans toute division, le dividende est au moins égal à la somme du diviseur et du reste; le reste est d'ailleurs moindre que le diviseur ; donc le reste est inférieur à la moitié du dividende. On voit par là que, dans la recherche de la plus grande commune mesure de A et de B, le premier reste sera

inférieur à ^ ; le troisième reste sera moindre que la moitié du

premier, et, par suite, inférieur 2» ^ i le cinquième reste sera moindre que la moitié du troisième et, par suite. Inférieur à ^) et ainsi de suite. L'opération ne pourra donc pas se prolonger indéOniment» car on tomberait sur un reste moindre que la plus grande commune mesure supposée; ce qui est absurde, puisque, d'après la théorie précédentOila plus grande commune mesure doit diviser exactement les restes successifs.

On arrivera donc à un reste qui sera une partie aliquote du précédent, et ce reste sera la plus grande commune mesure demandée.

138. Récipioquement, si, en appliquant le procédé qu'on vient d'indiquer à deux droites données, on arrive à un reste qui soit contenu un nombre exact de fois dans celui qui le précède, les deux droites considérées seront commensurables entre elles, et ce reste sera alors leur plus grande commune mesure.

Ainsi, supposons qu'on ait trouvé successivement

A = B+R, B=5R-hR', R=aR'H-r, R' = 3R';

on aura

R = 7R% B=38R', A=45R', et le rapport des deux dreites A et B sera représenté par le