LIVRE II. — LA CiaCOKFÉREKCE DE GEftCLB

AS

nombre fractionnaire ~* D'ailleurs, étant la plus grande

. commune mesure de K et de h" sera, d'après ce qui précède, la plus grande commune mesure de  et de B.

PROBLÈME

139. Par un point B d'une droite BG, mener une seconde droite qui fasse a»eo la première un angle égal à un angle donné (fig, 93).

Du point A. comme centre, avec une ouverture de compas arbitraire, mais assez grande, décrivez un arc de cercle qui coupe en D et E les c6tés de l'angle donné : avec la même ouverture, et du point B comme centre, décrivez un second arc de cercle GF, qui coupe en F la droite BG. Prenez avec le compas la longueur de la corde DE (il est inutile pour cela de tracer cette corde), et du point F comme centre, avec cette ouverture, décrivez un arc de cercle qui coupe en H l'arc GF; la droite BH sera la droite demandée.

En effet, les arcs HF et DE ayant des rayons égaux et des cordes égales sont égaux (96); par suite, les angles au centre HBF, DAE, qui correspondent à ces arcs, sont aussi égaux (124-).

140. On divise la circonférence en 36o parties égales qu'on nomme degrés, le degré en 60 parties égales appelées minutes, et la miinute en 60 parties égales appelées secondes» D'après cela, la circonférence contient 36o.6o = 31600 minutes, ou ai6oo.6o = 1396000 secondes; la demi-circonférence contient 180 degrés, ou to8oo minutes, pu «648000 secondes ; «afin le quadrant vaut 90 degrés, ou 54oo minutes, ou 334000 secondes. . ...

On évalue un arc quelconque en. degrés, minutes et secondes de la circonférence. Ainsi l'on dit : un arc de 36 degrés i5 minutes 31 secondes, que l'on éçrit:arcde36*i5'3i\

Deux arcs ÂB et A'B' {Jig, 94) décrits entre les côtés d'un même angle XOY, de son sommet comme centre, romiennent le même nombre de degrés, minutes et secondes. £n effet, le

rapport de l'arc AB au quadrant AC est le même que le rap^ port de l'arc A' B ' au quadrant A' C, puisque chacun de ses rapports est égal à celui de l'angle XOY à l'angle droit XOZ(124). Or, comme le quadrant AG vaut 90 degrés de la circonférence OA, et que le quadrant A' G' vaut 90 degrés de la circonférence 0A% les arcs AB et A'B' vaudront le même nombre de degrés, minutes et secondes de leurs circonfé^ rences respectives.

D'après cela, on appelle angle de 3G» iS'ai " Tangle qui intercepte entre ses côtés, sur toute circonférence décrite de son sommet comme centre, un arc de 36<* i^'^i".

Connaissant le nombre de degrés» minutes et secondes d'un angle, on obtient son rapport à l'angle droit en prenant le rapport de ce nombre de degrés, minutes et secondes à 90 degrés; il faut avoir soin, bien entendu, d'évaluer les deux angles en unités de même espèce, soit en degrés, soit en nunutes, soit en secondes. Ainsi, comme 36'm5'2i "valent i3o52i secondes, et que 90 degrés renferment 824000 secondes, le rapport de Tangle de 36° i5'2i à l'angle droit est exprimé par la fraction

i3o52i 43507 - ou \, '

324000 lobooo

141. Pour évaluer le nombre de degrés d'un angIe,ou pour tracer un angle ayant un nombre de degrés donné, on emploie 'un instrument appelé rapporteur. C'est un demi-cercle en corne ou en cuivre dont le bord circulaire ou limbe est divisé en 180 parties égales ou degrés; les rapporteurs qui ont un décimètre de rayon sont même divisés en demi-degrés.

Fi».94.

Fifi. 95.

LIVKB n. — LA GIBGOIfPteflfCK DB CERCLE. 8t

Le centre est marqué par un petil trou ou par une pei.ic échancrure.

Pour mesurer un angle DOG (Jig, 95 ), on place Tinstrument de manière que son centre coïncide avec le sommet de l'angle, et que le diamètre AB, qui va de zéro à 180 degrés, s'applique sur l'un des côtés OG. On iii alors le nombre de degrés de l'angle au point où le limbe est traversé par le second côté OD.

Pour mener au point 0 d'une droite ÛG une seconde droite OD» formant avec la première un angle donné, de 49 degrés par exemple, on place rinstrument de manière que son centre soit en 0, et que son diamètre ÂB coïncide avec OG ; puis on marque le point C du papier sur lequel tombe la division 49 du limbe; et, après avoir enlevé le rapporteur, on tire la droite OC.

PROBLÈME

142. Coimaiisant deux angles aet^ d*un triangle, construire te troisième y.

Fie. 9^*

Tracez une droite indéfinie AB (/?gf. 96) ; par l'un de ses points 0, menez une droite OC qui forme avec OA un angle COA égal à et; menez par le même point 0 une autre droite OD qui fasse avec OB un angle DOB égal à 6. L'angle CCD sera l'angle cherché; car la somme des trois angles formés autour du point 0 et au-dessus de AB équivaut è deux angles droits (20,78).

SCOLIE

143. Nous allons apprendre à construire un triangle, connaissant : i** un côté et deux angles; a* deux côtés et l'angle compris; 3** deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux; 4*^ les trois côtés. Dans ces quatre problèmes, nous désignerons les

8a GtOHÉTlIB PLAHB*

trois côtés par 6, c, et les angles respectivement opposés par A, B, C; ainsi l'angle A sera opposé au côté a, l'angle B au côlé b, l'angle C au côté c.

PROBLÈME

ikh: Construire un triangle, connaissant un côté a et deux angles»

On peut donner les deux angles B et G adjacents an e6té a, ou bien l'angle opposé A et Fun des angles adjacents; on ramène ce dernier cas au premier en commençant par chercher le troisième angle (142).

Supposons donc connus le côté a et les deux angles adjacents B et C.

Après avoir tracé une droite BG [Jîg. 97 ) égale à a, menez au point B une droite BA formant avec BG et au-dessus de cette ligne un angle ABG égal à l'angle donné B; menez de même au point C une droite. CA formant avec CB, et au-dessus de celte ligne, un angle ACB égal à l'angle donné C. Le point de renconire A de ces deux droites sera le troisième sommet du triangle cherché.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que les deux droites CA, CA, se coupent, c'est-à-dire (G5) que la somme des deux angles B et C soit moindre que deux angles droiti^

PROBtÈUB.

145. Construire un triangle, connaissant deux côtés a et b et V angle compris C.

Tracez une droite GB {fig, 98) égale à a; au point C, menez une droite GA formant avec la première un angle AGB égal à l'angle donné G; puis prenez sur cette droite, à partir du point G, une longueur GA égale à b\ enûn> tirez AB, et vous aurez le triangle cherché.

Lim II. -— LÀ GlHCOKFtKINCB DB GBKCIB. 83

PROBLÈME

146. Construire un triangle, connaissant deux côtés aeib et V angle B opposé à l'un d'eux.

Tracez une droite BG (fig, 99) égale à a, et au point B me-

f ig. 99*

nez une droite BA formant avec la première un angle ARC égal à l'angle donné B; puis, du point C comme cotitr<^, avec une ouverture de compas égale à b, décrivez un arc do rorcle. Si A est un point d'intersection du côté BA et de cet arc de cercle, il suffira de tirer AC pour avoir un triangle ABC satisfaisant aux conditions exigées.

147. Discutoits maintenant ce problème, c'esinà-dire cherchons les conditions que doivent remplir les données pour que le problème soit possible, et, dans ce cas, les diverses solutions qui peuvent exister.

1° L'angle B étant aigu {fig. 99), pour que le problème soit possible, il faut que l'arc de cercle rencontre le côté BA, c'està-dire que le côté h soit au moins égal à la perpendiculaire CD abaissée du point C sur BA.

Si le côté b est égal à cette perpendiculaire CD, le cercle touche BA en et il n'y a qu'une solution ; c'est le triangle rectangle BCD.

Si le côté b est compris entre la longueur de la perpendiculaire CD et celle du côté a, le cercle coupe la droite BA en deux points A et A' situés au-dessus de B, et de pan et d'autre de D ; il y a donc deux solutions distinctes : ce sont les * Uiangles ABC, A'BC.

Enfin, si le côté b est plus grand quea, le point A' passe audessous de B, et le triangle correspondant doit être rejeté puisque son angle en B n'est plus Tangle donné, mais son supplément; il n'y a donc qu'une solution : c'est le triangle ABC.

1? Vangle B étant obtus (fig, loo), la perpendiculaire CD ne tombe plus dans l'angle B, mais dans son supplément (42);

et, pour que le problème soit possible, c*est-à dire pour que l'arc de cercle coupe la droite BA au-dessus de B, il faut que le côté b soit plus grand que a : ce que Ton pouvait prévoir, car dans tout triangle au plus grand angle doit être opposé le plus grand côté. D'ailleurs, lorsque cette condition est remplie, les deux points d'intersection A et A' sont de part et d'autre de B; le triangle A'BC doit être rejeté, car son angle en B est le supplément de l'angle donné, et il n'^ a qu'une solution : c'est le triangle ABC.

3* Z'angie B étmt droite le problème est impossible si b est inférieur ou égal à il admet une solution unique si b est supérieur à a.

148. Construire un triangle y connaissant les trois côtés a, 6, c.

Tracez [fig, loi) une droite BC égale à a, c'est-è-dire au plus grand des côtés donnés. Du point C comme centre, avec une ouverture de compas égale à ^, décrivez, au-dessus de BC, un arc de cercle; du point B comme centre, avec une ouverture

de compas égale à c, décrivez au-dessus de BC un autre arc de

FIg. 100.

PROBLÈME

Fig. 101.

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