LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

leur rencontre F, on forme une figure qu'on nomme quadrUatrrc complety et qui renferme quatre triangles ABF, ADE, BCE, DGF. Démonlrer : l'que les cercles circonscrits à ces quatre triangles passent par un même poÎDt; 2" que ce point et les centres des quatre cercles sont sur une même drconférenoe.

9. On donne un cercle et un point fixe A situé dans son plan. ABC étant une corde quelconque issue du point A, on élève sur le milieu de cette corde une perpendicnlaiie m égale à lA. Qoel est le lieu des points M?

10. Une circonférence roule dans l'intérieur d'un cercle de rayon double : quel est le lieu décrit par un point de cotte circonférence?

41. Par un point pris dans le plan d'un parallélogramme, mener une sécante telle, que la partie comprise entre deux côtés opposés (prolongés s'il le faut) soit égale à la partie comprise entre les deux autres côtés.

12. Construire un triangle, connaissant son périmètre, un angle cd grandeur et en position, et un point du troisième côté.

43. Construire un triangle ayant des angles donnés et tel, que MB , sommets appartiennent à deux circonférences ooncentriqQes données.

14. Étant donnée un trfangle, le cercle Inscrit et les trois cerdes es-inscrits, démontrer : i* que les quatre points de contact qui se trou- Tent sur un même côté (deux intérieurs et deux extérieurs) sont deux à deux équidistants du milieu de ce côté; a* que la distance d'un point de contact extérieur, au plus éloigné des deux sommets situés sur le même côté, est égale au demi-périmètre du triangle; 3° que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'un des sommets situés sur le même côté est égale au derai-périmèlrc diminué du côté opposé à ce sommet; 4® que la distance des deux points de contact intérieurs situés sur le côté considéré est égale à la différence des deux autres côtés du triangle; 5" que la distance des deux points de contact extérieurs est égale à la somme des deux autres côtés du triangle ; 6° que la distance du point de contact du oerde inscrit à Tun dès points de contact extérieure est égale à celui des deux autres côtés <du triangle qui aboytit au sommet situé «itre ces deux pointe de contact.

i8. Soient ABC un triangle, D le centre du cercle circonscrit, 0 celui du cercle inscrit, -et 0', 0", 0"', les centres des cercles ex-inscrits respectivement situés dans les angles A, B, C; démontrer : i* que le cercle circonscrit passe par les milieux des droites QO*, OQ', 00*; a* que les quatre pointe 0, B, C, 0', sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D; S* que les points 0", B, C, 0*, sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D.

i6. Si Ton désigne par B le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC; par r celui du cercle inscrit, par r', r*, y^, ceux des cerclée ex-in-

crils; par 'J. o\ n", les perpendiculaires abaissées du centre du cercle circonscrit sur les côtés; par p, [x"^ les portions de ces perpendiculaires comprises entre les côtés du triangle et la circonférence circonscrite, on a les relations

La dernière relation suppose que le centre D du cercle circonscrit est situé à rintérieor dn triangia. Dans le cas où le poiot D eat extérieur, comment &iit-U modifier cette relation ?