NA

A partir du point 0, le rapport continue à croître pour

les mêmes motifs; à mesure que le mol) lie se rapproche de B, le numérateur NA tend vers AB, le dénominateur NB diminue «n tendant vera o; et, par suite, le rapport acquiert des valeura de plus en plus grandes et peut môme surpasser tel • .nombre qu'on voudra. On exprime ce fait en disant que la valeur du rapport devient infinie^ et l'on représente par le symbole 00 cet état limite. Ainsi, de 0 enB,le rapport considéré croit d'une manière continue de i à /'go .

Io4 GÉOMÉTRIE PLANE.

Ëafîn, pour toute position N' du mobile au delà de on a

N'B~ N'B """"^N'B' lorsque le point N' s'éloigne de B, le dénominateur N'B augmente de plus en plus jusqu'à Tinûni; la fraction diminue

graduellement jusqu'à zéro, et le rapport décroît successivement jusqu'à I. Ainsi, à droite de B, le rapport eontidéré décrott d'une manière continue del'oo à i.

En résumé, le rapport considéré prend deux fois à gauche du point 0 toutes les valeurs numériques moindres que i, et deux fois à droite du point 0 toutes les valeurs numériques supérieures à i.

Donc enOn, étant donnés deux points fixes A et B, il existe toujours sur la droite indéfinie XY qui les contient, deux points t et seulement deux, tels que les rapports des distances de chacun d'eux aux points A B aient une même valeur donnée. Ces deux points sont situes d'un même côté du milieu 0 de AB, l'un entre A et B, l'autre en dehors; ils sont d'ailleurs à gauche de 0, comme M et M', ou à droite de 0, comme N et N', suivant que la valeur donnée du rapport est inférieure ou supérieure à Vanité.

Le point N, situé entre A etB, divise réellement la droite AB dans le rapport donné; ])ar extension, on dit que le point extérieur N' divise aussi la droite AB dans ce même rapport. Pour éviter toute confusion, on qualiûe alors d'additifs les ( segments NA et NB déterminés par le point N, et dont AB est ! la somme, et de soustractifs les segments N'A et N'B déterminés parle point N', et dont AB est la différence.

Lorsqu'une droite AB est ainsi divisée par deux points N etN', de façon que les segments additifs NA et MB soient proportionnels aux segments soustractifs N'A et N'B, on dit que I ces deux points N et N' divisent harmoniquement la droite AB ou sont conjugués harmoniqttes par rapport à la droite AB. La relation

na n;a

NB'^N'B

LITRE lU. ^ LBB FI6URB6 BSMBLABLES. lo5

pouvant êlre écrite

AN BN

on voit que» réciproquement, A et B sont conjugués harmoniques par rapport à la droite NN'.

TUÉORË&Œ.

168. Deux droites quelconques sont coupées en parties proportionnelles par une série de droites parallèles f en d'autres termes» lorsque deux droites AG, A'G', sont coupées par une série de parallèles AA', BB',..., GG', le rapport de deux segments quelconques de la première droite est égal au rapport des segments correspondants de la seconde {fig* i ï8, 119).

Fig. 118. J^ig. 119.

Il suffit (125) de prouver :

1° Que, si deux serments AB et EF de la première droite sont égaux entre eux, les segments correspondants A'B' et E' F' de la seconde droite sont aussi égaux entre eux ;

2? Que, si sur la première droite, un segment EG est égal à la somîne de deux autres AB et CD, sur la seconde droite, le segment E'G', correspondant à EG, est aussi égal à la somme des segments A'B' et CD' qui correspondent à AB et à CD.

i*> Menons A'P et E'Q parallèles à AG; A'P et AB seront égales comme parallèles comprises entre parallèles; E'Q sera égale à EF pour la même raison ; par suite, on aura A'P = E'Q, puisqu'on a par hypothèse AB=£F.D'ailleurs, les angles PA'B', QE'F', sont égaux comme correspondants, et les angles A' PB% £'QF% comme ayant les côtés parallèles et de même sens; donc, les triangles PA'B% QE'F', ayant un côté égal adjacent à deux angles égau» chacun à chacun» sont égaux» et Ton a A'B' = £'F'.

2® Puisque, par hypothèse, EF = AB, et GF = CD, on a, d'après l'alinéa qui précède, E F' = A'B' cl F'G' = C'D'; le segment E'G' est donc égal à la somme de A'B' el de CD'*.

La figure peut offrir deux dispositions différentes; mais la démonstration ne change pas.

THÉORÈME

169. Toute parallèle DE à l'un des côtés BC d'un triangle ABC divise les deux autres côtés en parties proportionnelles ijig, lao, 121, 122).

Fig. 130.

FIg. laa.

En effet, en concevant par le sommet A une parallèle à BG» on voit (1G8) qu'on a