CD ~ CD

Ainsi , la droite BC est partagée aux points D et D' de telle sorte, que les segments additifs sont proportionnels aux segments soustractifs. Lorsqu’une droite est ainsi partagée, on dit qu’elle est divisée harmoniquement.

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La division harmonique jouit, d’uu grand nombre de belles propriétés que nous ne pouvons indiquer ici.

a°. Si l’on construit un autre triangle BA C , dans lequel les côtés BA', AC soient proportionnels à BA, AC, les bissectrices relatives au point A' passeront, comme on le vérifie aisément, par les points D et D'. Or, les angles ' DAD', DA'D sont droits ; donc (188, 191) tous les points A, A',... seront situés sur UDe circonférence ayant DD' pour diamètre. Ce résultat peut s’énoncer comme il sui t .

Théorème XH.

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, 227. Le lieu géométrique des points dont les distances

aux extrémités d'une droite donnée sont dans un rapport constant j est une circonférence ayant son centre sur la droite donnée.

Si le rapport donné est presque égal A l’unité, la circonférence est très-grande; et si ce rapport est rigoureusement égal à l'unité la circonférence est remplacée par la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite (73).

Théorème XIII.

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228. Les droites qui joignent les sommets d’un triangle aux milieux des côtés opposés 3 se coupent en un même point.

Soient AA' et BB' {fi g. 1 12 ) deux de ecs droites, et soit O leur point de rencontre.

La droite A' B', qui partage proportionnellement AC et BC, est parallèle à AB (200); donc les deux triangles AOB. A OB' sont semblables ; et l’on a