LIVRE TROISIÈME. IOI

Si l’on demandait de partager AB en parties proportionnelles à des nombres donnés, la question se ramènerait au problème I.

Problème III.

Trouver une quatrième proportionnelle à trois droites données m, n, p ( fig . i46).

Sur les côtés d’un angle quelconque xAy , prenons AB = m, AC= n, AD = p ; tirons BC et menons, par le point D , la parallèle DE à BC. La droite AE sera évidemment la quatrième proportionnelle demandée.

Problème IV.

Trouver une troisième proportionnelle à deux droites données m, n. %

Soit x la droite cherchée. On doit avoir = -. Ce « ‘ , n x

problème rentre donc dans le précédent.

Problème V.

Trouver une moyentys proportionnelle entre deux droites données m , «. • ,

i re Construction. — Prenons , suc une droite indéfinie

X T Xfig • *47) > AB = "h RC =

Sur AC = m n comme .diamètre, décrivons la demi-circonférence ADC. Élevons au point B la demicorde BD perpendiculaire à xy 5 cette droite sera la moyenne proportionnelle demandée (229, 3°).

a® Construction. — Sur une droite AB {fig- i48) , égale à la plus grande m des deux droites données, décrivons la demi-circonférence ACB. Prenons AD == n\ élevons DC perpendiculaire à AB, et menons AC : „ cette droite sera moyenne proportionnelle entre m et n (229, 2 0 ).

Le théorème XIV, qui vient de nous servir à trouver

une moyenne proportionnelle entre deux droites données, permet aussi de résoudre le problème IV.

Problème VI.

Partager , en moyenne et extrême raison, une droite donnée AB.

Au point A (Jig* *49)? élevons la perpendiculaire AC égale à la moitié de AB. Menons BC. Prenons CD — CA, et BE = BD : le segment BE sera moyen proportionnel entre la droite entière AB et l’autre segment AE (234).

Remarque. — En représentant pat- a la longueur de AB, nousauroiis

AC=i«, BC = +

et *

BE = BD="a^5 — \a = + a (^5— i)-

Ainsi , quand une droite est partagée en moyenne et extrême raison , le plus grand segment est égal au produit de cette droite par la quantité incommensurable

iW- «)•

Problème VU.

* Construire un carré équivalent à un parallélogramme ou à un triangle donné. *

Soit C le côté inconnu du carré équivalent à un parallélogramme dont la base et la hauteur sont des droites données B et H. Nous devrons avoir (243)

Ainsi , le côté du carré est moyen proportionnel entre la base et la hauteur du parallélogramme.

On verrait de même que le côté du carré équivalent à un triangle donné est moyen proportionnel entre la base et la moitié de ta hauteur du triangle.