C GH

CD ~ CÔ ’

par suite,

Cg’= aGH X~"CD = GF X CD.

■Êk

La seconde formule cherchée est donc

K 1 -i Jfl

e'* = i-cC'.

318. (Nommons P et p les périmètres des polygones auxquels appartiennent A11 et GF, et soit n le nombre de leurs côtés. Désignons de même', par P' et p, les périmètres des polygones dont DE et GC sont deux côtés. Nous aurons évidemment

P nC, p = ne , V p' = inc' ;

et par conséquent

véî

*îv?

PnOBLÈME V.

319. Connaissant le rayon et V apothème cT un poly- %gone régulier P, trouver le rayon et V apothème d'un polygone régulier F isopérïmétre, et d’un nombre double de côtés.

Soien )(fig. 174 ) AB le côté, AO le rayon, OC l’apothème de P.

Le polygone cherché P*, de même périmètre que P, devant avoir deux fois autant de côtés que ce dernier, il est clair que le côté de F doit être moitié de AH. De

vr.

1 34 * OKOMlh'RIE.

plus, l’angle au centre, dans le polygone F, doit être moitié de AOB. •.*

D’après ces deux observations , si du point O comme * centre, avec AO pour rayon, nous décrivons une circonférence; si nous prolongeons CO jusqu’en O', et si nous menons AO' et BO' ; AO B sera l’angle au centre pour F. Déplus, en abaissant OA', OB perpendiculaires respectivement sur AO', BO , les points A', B' seront les milieux de ces dernières droites ; donc. A' B', égale et parallèle à AC , sera le côté du polygone F, dont A'O' et C'O' seront le rayon et l’apothème.

Soient AO = R, CO = r, A'O' = R', C'O' = r' : il ' s’agit de calculer R' et r, connaissant R et r.

En premier lieu, j’observe que le point C est le milieu de CO'; donc

r> = |CO' = | (CO -H 00' )'=: .* (R -4- r).

Secondement, dans le triangle rectangle O A'O', le côté A'O' est moyen proportionnel entre OO' et C'O'; par suite, R' = VRr'.

Les formules cherchées sont donc

. Ainsi : i° Le nouvel apothème est une moyenne par différence entre F ancien apothème et l'ancien rayon; a° le nouveau rayon est une moyenne par quotient entre l'ancien rayon et le nouvel apothème.

320. Remarques. — i°. L’apothème r est moindre que le rayon R ; or, la moyenne par différence r est comprise entre ces deux quantités; donc

r' >, r, et / < R.

a°. La moyenne par quotient entre R cl r est com-

• « LIVIIF. yt) AiniKMF,. i3j'

• prise cuire ces deux quantités ; donc, à cause de r'< R,

f o V . #*JOjrJr ' ABa *

3°. Soit /// le point où la droite DO' rencontre la circonférence décrite du point O' comme centre, avec A'O' pour rayon ; ce point divisant l’arc A'B'en deux parties- ** *• égales, la droite A tn sera la bissectrice dp l’angle OA' IV. Ou aura donc ' •

' i ' '* mC K'C

. «o FÔ’

et comme A’C' est moiudre que A'O , on aura

mC r mO;

puis , ou enfin

me; < tc'o, ou mC < tL>c, ;