LIVRE QUATRIÈME. I

du polygone intercepté entre ces huit droites ; a° le périmètre de ce polygone; 3° son aire.

i°. Il est d’abord facile de voir que le polygone IKLMNPQR (Jig. 188 ) résulte de la superposition de deux çarrés TVXZ et SUWY.

En efl’et, les deux triangles rectangles EAB, FBÇ sont égaux; donc CFB = BEA; par suite, les deux triangles EAB , FSB sont équiangles entre eux ; donc l'angle S est droit. Il en est de môme des angles U, W, Y. D'ailleurs, les figures BEDG, AHCF sont des parallélogrammes égaux; donc SU = SY ; et la figure SUWY est un carré. On ferait voir de môme que TVXZ est un carré égal au premier.

Actuellement, le point M est le centre du rectangle ABEG; et, comme AZ = BS, ou a ZM = MS; donc les deux triangles rectangles LZM, NSM sont égaux; et ML = MJN. On verra de môme que MN = XP : ainsi, le polygone est équilatéral.

Il n’est pas équiangle ; car les angles BEC , FCE , respectivement égaux à SMN, SNM, sont év idemment inégaux.

Ainsi, le polygone 1KL. . . est équilatéral; ses côtés sont parallèles deux à deux ; et ses angles, égaux de deux en deux. De plus, deux côtés adjacents à un troisième sont perpendiculaires entre eux; et, par suite, la somme de deux angles consécutifs est égale à trois droits.

2 °. Menons BD et EG : dans le triangle BEG, les droites BO, MG sont deux médianes (228); donc

MN = }MG = jAG.

11 suit de là que le périmètre de l'octogone = -jAG. Conséquemment, si nous désignons par « le côté du carré donné , et par p ce périmètre , nous aurons

AG = v a 5 -+--j-oV=: ( a ^5, cl // = -fl V5-

GÉOMÉTBIE.

3 °. Enfin, l'aire de l’octogone égale son périmètre, multiplié par \ TZ, attendu que les deux carrés SUWY, TVXZ sont circonscriptibles à un même cercle, ayant pour centre le point O. Nous aurons donc, en désignant par P l’aire de l’octogone,

P = f-AG X 7 BT = -jAG X BT.

Or, AG X BT est le double de l’aire du triangle ABG; donc le polygone est équivalent aux deux tiers de ce triangle ; et P = j a*.

Problème V.

On construit , sur le diamètre AB d'une circonférence C {fi g- 189), un triangle équilatéral ABD; on divise AB en un nombre n de parties égales, et l'on joint l'extrémité E de la seconde division, avec le point D, par la sécante DEF. Quelle est l'expression de la corde AF?

Prenons pour unité le rayon delà circonférence; désignons, pour abréger, par â la distance CE, laquelle est

égale à 1 — Représentons AF par x et DF par y.

Enfin, abaissons AA' et CC perpendiculaires sur DF. Nous aurons, dans les triangles ADF, CDF,

AF = DK -t- AD — 2DF X DA',

CF’= DK’ -+- CD — 2DK X DC'.

Or, le triangle ABD étant équilatéral, AD = 2 et CD = y ^3 : les équations précédentes deviennent donc

x’ y -t- 4 — V X DA',