LIVRE QUATRIÈME

Pour construire cette valeur , on peut d’abord la mettre sous la forme suivante ,

En négligeant pour un instant le facteur nous voyons que le second membre est une moyenne proportionnelle

entre 5 m et une autre droite égale à m X V5 — \/4-5. Nommons x cette droite; nous aurons

Ainsi , x est une moyenne proportionnelle entre m et m X (5 — ^4-5). Soit y cette dernière droite; nous aurons encore

y =r 5m — fi\m.5m.

De ces différentes valeurs, et en ayant égard au facteur | , on conclut la construction suivante, qu’il est aisé de justifier.

Avec un rayon égal au côté m du carré , décrivez une demi-circonférence ADB (fîg. 187 ). Divisez le diamètre AB en cinq parties égales; et, par le quatrième point de division C, élevez la perpendiculaire CD au diamètre. Du point A comme centre, décrivez l’arc DE. Elevez la perpendiculaire EF, qui rencontre en F la demi-circonférencc décrite sur BC comme diamètre.

Du point B comme centre, décrivez l’arc FG; élevez GH perpendiculaire à AB; BH sera le côté du pentagone.

Problème III.

Déterminer, en fonction du rayon du cercle circonscrit, l'aire du dodécagone régulier.

Soit R le rayon donné; soient c et c les côtés de 1 hexagone régulier et du dodécagone régulier inscrits; la formule générale

trouvée au n° 313, nous donnera, en prenant c = R,

c' 7 = 2R’(i — /ï)=rm. 2 — V3); et c' = R V 2 — ^3 .

L’apothème a du dodécagone sera donnée ensuite par la formule

Au moyen de ces deux valeurs, nous obtiendrons, pour l’aire du dodécagone régulier,

A = 12R y'a-vÆ X 7R V a -1- \[l= 3 R>.

Ainsi , le dodécagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est équivalent à 3 fois le carré construit sur R comme côté. 11 résulte aussi de cette valeur, que le dodécagone inscrit est au carré inscrit, comme 3 est à 2

Remarque. — On parvient plus rapidement au résultat qui précède , à l’aide de la formule p n =p ^ P,„(312) ,

dans laquelle /)„ sera le périmètre de l’hexagone et P*,, l’aire du dodécagone. On a effectivement , à cause de />« = 6R ,

P,. = — .6R , etc.

Problème IV.

Un /oint les milieux des côtés d un carré avec les somitiels non adjacents , cl l'on demande: 1 " la nature