LIVRE CINQUIEME. l

donc AE = A E. La droite BE, ayant deux de ses points situés chacun à égale distance des extrémités de AA', est perpendiculaire au milieu de celle-ci ; donc , etc.

Théorème V.

363. Si une droite AB (Jig- 191) est perpendiculaire à trois droites AC, AD, AE, menées par un de ses points, ce/les-ci sont toutes trois dans un même plan.

Car, si la droite AE n’était pas dans le plan CAD, celui-ci couperait le plan BAE suivant une droite AE' (361), diflérente de AE, et qui, d’après le théorème précédent, serait perpendiculaire à AB. On aurait donc, dans un même plan, deux droites AE, AE', perpendiculaires à une même droite AB, en un même point; ce qui est absurde.

364. Corollaire. — Tant <le droites que F on voudra, perpendiculaires à une même droite en un même point, sont dans un même plan.

363. A cause des deux propriétés qui viennent d’être démontrées, on adopte les définitions suivantes ;

Une droite est dite perpendiculaire à un plan , lorsqu’elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans ce plan

Réciproquement, le plan est dit perpendiculaire à la droite.

366. Les deux théorèmes précédents peuvent donc être énoncés ainsi :

i°. Si une droite est perpendiculaire à deux droites qui passent par son pied dans un plan , elle est perpendiculaire au plan ;

a°. Le lieu géométrique des droites perpendiculaires à une même droite, en un même point, est le plan perpendiculaire à la droite', en ce point.

Théorème VI.

367. D'un point donné A, on peut toujours mener une perpendiculaire à un plan donné MN, mais on n’en peut mener qu'une.

Il y a deux cas à distinguer \ selon que le point est sur le plan ou au dehors du plan.

i rr Cas. — Menons, dans le plan MN (Jig. 192), la droite quelconque BC, de manière qu’elle 11e passe pas en A. Abaissons AD perpendiculaire sur BC, puis, par le point D , menons DE perpendiculaire à BC. Enfin, dans le plan ADE, élevons AE perpendiculaire sur AD. Je dis que AE sera perpendiculaire au plan MN.

Menons par le point A, dans le plan MN, une droite quelconque AC ; prenons , sur le prolongement de AE , AE' = AE; tirons EC, E'C.

La droite CB, perpendiculaire aux deux droites DA, DE qui passent par son pied; dans le plan ADE , est perpendiculaire à DE' (362); d’ailleurs, la droite AD est perpendiculaire au milieu de EE'} donc DE = DE'} ainsi, les deux triangles rectangles EDC, E'DC sont égaux, et . EC = E'C. Par suite, la droite AC est perpendiculaire au milieu de EE'. Donc cette dernière droite, perpendiculaire à la fois aux deux droites AD, AC , qui passent par son pied dans le plan MN, sera perpendiculaire à ce plan.

a' Cas. — Menons, dans le plan MN (Jig. *93), la droite quelconque BC. Abaissons, du point A, une perpendiculaire AD sur cette droite ; puis, par le point D, et dans le plan MN, menons DE perpendiculaire à BC. Enfin, abaissons AE perpendiculaire sur DE. Je dis que AE sera perpendiculaire au plan MN.

La démonstration étant , à peu près, identique avec la précédente, nous la supprimons.

Quant à la seconde partie cîe la proposition, elle est

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