i' r Corollaire. — Le plan perpendiculaire sur le

milieu d'une droite est le lieu géométrique des points également distants des extrémités de cette droite. [Voyez n° 73.) ,

378. a" Corollaire. — Les plans perpendiculaires sur les milieux des côtés d’un triangle se coupent suivant l'axe de la circonférence circonscrite à ce triangle. ( V oyez n° 108.)

Théorème X.

379. L’angle que fait une droite avec sa projection sur un plan est le minimum des angles que fait cette droite avec toutes celles que l’on peut mener par son pied , dans le plan.

AB' ( fi g. 195 ) étant la projection de AB, prenons, dans le plan MN , AC = AB', et menons BC.

Cette oblique étant plus grande que la perpendiculaire (372), il s'ensuit que les deux triangles BAC, BAB' ont deux côtés égaux , chacun à chacun , et un côté inégal ; donc (H 7) l’angle BAC est plus grand que l’angle BAB'.

380. Remarque. A cause de cette propriété, l’angle BAB', que fait une droite AB avec sa projection sur un plan MN , est appelé angle de AB avec MN, ainsi que nous l’avons dit ci-dessus.

Théorème XI.

381. i°. Si deux droites sont perpendiculaires entre elles , la projection de la première, faite sur un plan passant par la seconde , est perpendiculaire à celle-ci.

i°. Réciproquement : Si la projection d'une droite, faite sur un plan passant par une autre droite , est perpendiculaire à celle-ci, les deux droites sont perpendiculaires entre elles.

i°. Soient les deux droites AB, CD ( fig. 196 ) perpendiculaires entre elles, et se coupant en B. Abaissons du point A la perpendiculaire AE sur le plan MN, conduit suivant CD, et menons BE.

Si cette droite n’est pas perpendiculaire à CD, menons par le point B, dans le plan MN, BE' perpendiculaire à CD; puis abaissons AF.', perpendiculaire à BE'.

La droite AE' sera (367) perpendiculaire à MN ; mais AEest déjà perpendiculaire à’ce plan; donc, etc.

a°. Soit la projection BE perpendiculaire à BC. Si la droite BA, qui a pour projection BE, n’était pas perpendiculaire à BC , on pourrait mener, dans le plan ABC, une droite BA' perpendiculaire à BC, laquelle aurait une projection BE', différente de BE. Mais alors les deux droites BE, BE', situées dans le plan MN, seraient toutes deux perpendiculaires à BC, au point B; ce qui est absurde.