LIVRE CINQUIÈME. I 6(J

donnés, on ne peut faire passer qu’un seul plan (358); donc, etc. (V oyez n° 89.)

Théorème VIII.

383. Si deux droites sont parallèles , tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Soient deux parallèles AB, CD ( fig . 197 ), et soit un plan MN, perpendiculaire à AB. Je dis qu’il sera perpendiculaire à CD.

Le plan des deux parallèles coupe le plan MN suivant une droite BD, perpendiculaire à AB; donc la droite CD, parallèle à AB, rencontre cette intersection et lui est perpendiculaire (91).

Menons, "par le point D, dans le plan MN, la droite EF perpendiculaire à BD; et joignons le même point 1) à un point quelconque A «le AB. D’après le théorème XI, EF sera perpendiculaire à AD. Mais cette droite EF est déjà perpendiculaire à BD; donc elle est perpendiculaire à CD (362). Donc enfin, la droite CD, perpendiculaire aux deux droites 1)B, DE , est perpendiculaire à MN.

38-4. Réciproque. — Deux droites, perpendiculaires à un même plan, sont parallèles entre elles.

Soient AB et CI) {fig- 198 ) ces deux droites. Si elles ne sont pas parallèles , menons par le point D une parallèle I)C' à AB; elle sera perpendiculaire à MN. Mais DC est déjà perpendiculaire à ce plan ; donc, etc.

Théorème XIV

385. Deux droites A, B, parallèles à une troisième C, sont parallèles entre elles.

Si les trois droites sont dans un même plan, la proposition est démontrée (90). Supposons donc que A ne soit pas dans le plan des parallèles B, C. Menons un plan P,

perpendiculaire à C. Les droites A et B seront perpendiculaires à ce plan (383); donc elles sont parallèles entre elles (384).

386. Corollaire . — L' intersection de deux plans menés suivant deux droites parallèles est parallèle à ces droites.

Car si, par un point de l'intersection, on mène une parallèle commune aux deux droites , cette parallèle, devant se trouver à la fois dans les deux plans, se confondra avec leur intersection.

Théorème XV.

387. Tout plan mené suivant une parallèle B à une droite A est parallèle à celle-ci.

En effet, si la droite A rencontrait le plan, ce ne pourrait être qu’en un point de la droite B : ces deux droites ne seraient donc pas parallèles.

388. Réciproque. — Tout plan mené suivant une droite parallèle à un plan coupe celui-ci suivant une parallèle à la droite.

Soit la droite AB ( Jig . 199 ) parallèle au plan MIN , et soit ABCD un plan mené suivant AB. Je dis que si ce plan coupe MN, l’intersection CD sera parallèle à AB. Car si AB rencontrait CD , ce ne pourrait être qu’en un point du plan MN ; donc AB ne serait pas parallèle à ce plan.

389. I er Corollaire. — Une droite et un plan étant parallèles , si par un point du plan on mène une parallèle à la droite, cette parallèle sera tout entière dans le plan.

390. V Corollaire. — Une droite parallèle à deux plans qui se coupent est parallèle à leur intersection.