AE X BG X CF X DH = BE X CG X DF X AH

ces deux droites sont dans un même plan.

Théorème XXXI.

423. Étant donné deux droites non situées dans un même plan : i° on peut toujours mener une droite perpendiculaire à la fois à chacune d'elles ; i° on n'en peut mener qu'une ; 3° cette, commune perpendiculaire est plus petite qjue toute autre droite menée de l'une à Fautre des deux droites données.

i°. AB, CD (fîg- 212 ) étant les deux lignes données, menons, par un point A pris sur la première, une droite AE parallèle à la seconde : le plan BAE sera parallèle à CD (387).

Par un point quelconque D, pris’ sur CD, menons DF perpendiculaire au plan BAE; par le pied F de cette perpendiculaire, tirons F G parallèle à EA ou à DC (385) ; enfin, par le point G, où FG coupe AB, menons GH parallèle à FD : cette droite, située dans le plan GFDC, coupera DC en un point H. Je dis maintenant que GH est perpendiculaire aux droites AB, CD.

En effet, "la droite GH, étant parallèle à DF, est perpendiculaire au plan BAE (383) ; donc elle est perpendiculaire aux droites AB, GF, ou aux droites AB, CD.

a°. Pour démontrer que la commune perpendiculaire est unique, il suffit de faire voir qu’une droite quelconque IR, différente de GH, et rencontrant AB et CD, ne sera pas perpendiculaire à ces deux droites.

Or, si par le point I nous menons IL parallèle à HG , le pied de cette droite devra se trouver sur FG (395, 2 0 ) ; donc il différera du point K. Conséquemment, la droite IR est une oblique au plan BAE ; donc elle ne saurait être perpendiculaire aux deux droites AB, AE, situées dans ce plan ; etc.

3°. IL étant une perpendiculaire au plan BAE, et IR