AJSGLKS FORMES PAR LES PLANS

425. On appelle angle dièdre l’espace indéfini compris entre deux plans qui se rencontrent. Ces deux plans sont les faces de l'angle dièdre, et la droite suivant laquelle ils se coupent, en est Y arête.

426. Un plan PNS (Jig- 21 3), qui partage en deux parties égales l’angle dièdre MNPQ , est nommé plan bissecteur de cet angle dièdre.

427. O 11 appelle angle polyèdre l’espace indéfini compris entre plusieurs plaus qui se rencontrent en un même point.

Si le nombre des plans se réduit à trois, l'angle prend le nom d’angle trièdre.

428. Dans^’espace comme dans un plan , une figure convexe est» celle qui ne peut être rencontrée eu plus de deux points par une droite. (P oyez n° 44.)

D’après cette définition, une pareille figure ne pcuL avoir aucune partie rentrante.

429. Pour construire un angle polyèdre, on trace arbitrairement, dans un plan, un polygone fermé ABCDEF (Jig. 2 1 4) 5 puis, d’un point S, situé en dehors de ce plan, on mène les droites SA, SB, SC,... que l’on prolonge indéfiniment. On a de la sorte une série d’angles plans ASB, BSC, ... : ces angles plans sont les faces de l'angle polyèdre ; les droites SA, SB,... en sont les arêtes; le point S en est le sommet.

430. Remarques. — 1°. Si, par le sommet S, on mène un plan parallèle à ABC. . . , l’angle polyèdre sera situé, tout entier, d’un seul côté de ce plan.

a 0 . Le plan ABC. . . et l’angle polyèdre S seront, en même temps , convexes ou non convexes.

431. [xmme. — Si, en un point A ( jig . ai5) de l’arête NP d’un angle dièdre MNPQ, on mène, dans les • deux faces , des perpendiculaires à cette arête, l'angle BAC sera constant pour un même angle dièdre.

Menons, en un autre point A' de l’arête, et dans les deux faces, les perpendiculaires A' B , A'C' à cette droite. Les deux angles BAC, B' A'C' seront égaux, comme ayant leurs côtés parallèles (414); donc, etc.

432. L’angle dièdre MNPQ, et l’angle plan BAC, sont dits correspondants .

Théorème XXXII.

433. Deux angles dièdres , correspondants à des angles plans, égaux, sont égaux.

Soient les angles dièdres MPNQ, M'P'N'Q' (Jig. 216), et les angles plans correspondants BAC, « A'C. Je dis que si ces derniers sont égaux, les angles dièdres seront égaux.

. Transportons le second angle dans le premier, de manière que l’angle plan B' A'C' coïncide avec son égal BAC.

Les arêtes NP, N' P sont perpendiculaires aux plans BAC, BAC'; donc elles coïncident. Par suite, les faces du second angle trièdre coïncident avec celles du premier ; $onc, etc.

La réciproque est vraie ; car si les angles plans BAC , B' A'C' sont inégaux, les angles dièdres le sont aussi.

MVRE CINQUIÈME.

Théorème XXXIH.

434. Deux angles dièdres quelconques sont antre eux comme les angles plans correspondants.

Plaçons le plus petit angle dièdre dans le plus grand, de manière que leurs arêtes , et deux de leurs faces, coïncident.

Soient alors MNPQ, MNPQ' (fig. 217 ) ces deux angles. Menons arbitrairement un plan perpendiculaire à l'arète IN P ; il coupera les faces suivant des droites OA, OB, OB ' 5 et les angles AOB, AOB' seront les angles plans correspondants aux deux angles dièdres. Cela posé, je dis que l'on aura

MNPQ AOB MNPQ' ~ AOB'"

Il y a deux cas à distinguer, selon que les angles AOB, AOB' sont commensurables ou incommensurables entre eux.

i ,r Cas. — Supposons, pour fixer les idées, que les angles plans soient entre eux dans le rapport de 7 à 5 ; c’est-à-dire qu’un même angle AOm, contenu 7 fois dans AOB, soit contenu 5 fois dans AOB'.

Par les droites de division Oui, On, O p , . . . , et l’arête NP, faisons passer des plans ; ils diviseront l’angle MNPQ eu 7 angles dièdres , égaux entre eux, comme répondant à des angles plans égaux ; et l’angle MNPQ' contiendra 5 de ces angles dièdres.

a' Cas. — Si les angles plans sont incommensurables entre eux, le raisonnement déjà employé (179) fera yoir que leur rapport est encore égal à celui des angles dièdres.

435. Remarque. — Nous venons de démontrer qu’un angle dièdre a pour mesure l’angle plan correspondant. Il est essentiel d’observer que si les côtés d’un angle plan

GKOMKTHIE.

n’étaient pas perpendiculaires à l’arête, cet angle ne pourrait plus servir de mesure à l'angle dièdre.

D’abord, si les côtés OA, OB ( Jig . 218) de l’angle plan étaient inégalement inclinés sur l’arète NP, cet angle ne deviendrait pas nul lorsque la face NPQ serait appliquée sur MNP. Donc les angles AOP, BOP doivent être égaux.

En Second lieu , menons par l’arète NP un plan quelconque NPQ', et soit, dans ce plan, l’angle POB' = I i OA.

Comme l’on a

MNPQ = MNPQ' 4- Q'PNQ, on devrait avoir

AOB = A OB' 4 - B'OB.

Il est facile de reconnaître que si l’angle AOP n’est pas droit , les droites OA, OB, OB' forment un angle trièdre ; or, il sera démontré plus loin que, dans un pareil angle, on a nécessairement

AOB < AOB' 4- B'OB.

Donc l’angle AOB ne peut servir de mesure à l’angle dièdre.

436. Un angle dièdre est dit droit, aigu ou obtus, selon que l’angle plan correspondant est droit, aigu ou obtus.

437. Un angle dièdre est droit, lorsque ses faces sont perpendiculaires entre elles (402).

438. A l’aide des dénominations précédentes, et du théorème ci-dessus, on peut établir, pour les angles dièdres, des propositions analogues à celles qui ont été démontrées sur les angles plans. Ainsi :

Lorsque deux plans se coupent, les angles dièdres opposés sont égaux deux à deux ; les angles adjacents