ÉGALITÉ DES ANGLES TRIÉDRES

Théorème XL.

448. Deux angles trié rires sont égaux , lorsqu'ils ont un angle dièdre égal, compris entre deux faces égales’, chacune à chacune , et’ semblablement disposées.

Soit l’angle dièdre A(fg. at»3) égal à l’angle dièdre A'. Soit la face ASC égale à A'S'C', et soit-enfin la face ASB égale à A' S' B'. Je dis que les deux angles trièdres sont égaux.

Transportons le trièdre S' sur le trièdre S, de manière que la face A'S'C' coïncide avec son égale ASC ; alors, l’angle dièdre A' étant égal à A, le plan de la face A' S' B' s’appliquera sur le plan de U face ASR. Et comme ces deux faces sont égales, l’arète S B' coïncidera avec SB; donc, etc.

449. Remarque. — Si les faces égales étaient inversement disposées par rapport aux deux angles dièdres égaux, les deux arêtes S'B' et SB tomberaient, après la superposition des faefes A'S’C', ASC, de côté et d’autre de cette dernière face; et les deux angles trièdres ne seraient pas égaux.

Théorème XLI

430. Deux angles trièdres sont égaux, lorsqu'ils ont une face égale, adjacente à des angles dièdres égaux, chacun à chacun , et semblablement disposés .

La démonstration se fait, comme celle du théorème précédent, par voie de superposition.

Théorème XLEL

451. Deux angles trièdres sont égaux, lorsqu'ils ont les faces égales, chacune à chacune, et semblablement disposées.

Les deux angles trièdres seraient manifestement égaux

s’ils avaient un angle dièdre égal, compris entre deux faces égales. Or, parmi les angles composant les faces de

chaque angle trièdre, il peut y avoir:

i° Trois angles droits; 2 ° deux angles droits; 3° un angle droit; 4 ° trois angles aigus pu obtus.

i°. Si les trois faces, sont rectangulaires , les trois arêtes seront perpendiculaires deux à deux (402), et les deux angles trièdres seront évidemment égaux.

2 °. Si deux faces sont rectangulaires, la troisième face mesure l’angle dièdre formé par les deux premières (434) ; donc les deux trièdres ont un angle dièdre égal; donc ils sont égaux.

3°. Si une seule face es}. rectangulaire , un plan perpendiculaire à l'arète opposée coupera les deux autres arêtes, ou leurs prolongements.

4°. Enlin, si aucune face n’est rectangulaire, ùn plan perpendiculaire à l’une quelconque des arêtes coupera les deux autres, ou leurs prolongements.

Dans ces deux derniers cas, la démonstration se fera comme il suit.

Prenons, sur deux arêtes homologues, SA = S'A' ( fig . 224 ). Menons, parles points A et A', des plans perpendiculaires respectivement à SA et S'A'; ces plans couperont, comme on vient de le dire, les deux autres arêtes de chaque trièdre, ou les prolongements de ces arêtes, en des points B et C, B' et C'.

Achevons les triangles ABC, A B C'. Puisque les deux trièdres ont les trois faces respectivement égales, les deux triangles rectangles ASB, A'S'B' seront égaux, comme ayant un côté égal, adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun. Donc SB = S B'. De même, SC = S'C'. Par suite, les triangles BSC, B' S'C', qui ont un angle égal, compris entre deux côtés respectivement égaux, sont égaux; d'où BC = B C .

, LlVltE CINQUIÈME. igi

Actuellement, les triangles ARC, A'B'C' sont égaux, comme équilatéraux entre eux; doue BAC = B'A'C'. Mais ces derniers angles mesurent les. dièdres A et A'; doue, etc. t \

■452. Corollaire. — Deux angles trièdres sont égaux, lorsqu ils ont leurs arêtes parallèles, chacune à chacune, et. dirigées dans le même sens.

153. Remarque. — Le théorème précédent est compris dans celle proposition plus générale, qui ne suppose pas les faces disposées dans le même ordre :

Lorsque deux angles trièdres ont leurs faces égales, chacune à chacune, les angles 'dièdres opposés aux faces égales sont égaux. *

-J Théorème XLIB.

151. Deux angles trièdres sont égaux, lorsqu'ils ont les angles dièdres égaux , c/uicun à chacun , et semblablement disposés. • •

Preuons, dans l'intérieur des trièdres S, S', deux points ü, O'; abaissons, de chacun de ces points, des perpendiculaires sur les faces du trièdre correspondant; nous obtiendrons deux trièdres O, O', dans lesquels les faces seront égales , chacune à chacune , comme suppléments d’angles dièdres égaux (111). De plus , ces faces seront semblable ment disposées. Donc les deux trièdres O, O seront égaux, et ils auront leurs angles dièdres respectivement égaux. Par suite, les suppléments de ces angles dièdres seront égaux entre eux. Or, ces suppléments sont les faces des trièdres S, S'; donc, etc.