LIVRE CINQUIÈME

Les deux triangles ASC, ASC' sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux , chacun à chacun; donc AC = AC'. Et connue, dans* le triangle ABC, le côté AB est plus petit que la somme des deux autres, il vieut, en retranchant les parties égales, BC '< BC. Donc, dans les triangles CSB, C'SB, qui ont deux côtés égaux , chacun à chacun , l’angle CSB , opposé au plus grand côté, est plus grand que C'SB, opposé au plus petit; etc.

445. Corollaire. — Dam tout angle trièdre , un angle dièdre quelconque est plus grand que la somme des deux autres , diminuée de 2 droits.

Soient A , B, C les angles dièdres d’un trièdre , A étant le plus petit; et soient a', b', c' les faces coiTespondantes du trièdre supplémentaire. Nous aurons

a'<4' +V, ou ■>* — A < B)-f-(a rf — C)(M«);

ou enfin

A > B -+- C — a rf .

Théorème XXXVIII

446. La somme des faces d'un angle polyèdre cou vexe est moindre que 4 droits.

Soit l’angle polyèdre convexe SABC. . . (fg- 222 ). Jo dis que l’on aura

ASB -+- BSC -+-...< 4'.

Coupons l’angle polyèdre par un pian qui rencontre toutes les faces ; la section sera un polygone convexe ABCD. . . (430, 2 0 ). Prenons, dans l’intérieur de ce polygone, un point O, et menons les droites OA, OB. . . .

Nous obtiendrons, de la sorte, une série de triangles, en nombre égal à celui des faces de l’angle polyèdre, et

dans lesquels la somme des angles qui se réunissent en O • égale 4 droits.

Or, si nous considérons deux triangles consécutifs ABO, CBO de ce polygone , ainsi que les deux triangles ABS, BCS correspondants à ceux-ci, nous aurons, par le théorème précédent ,

ABO OBC < ABS -+- SBC.

On conclut de là que la somme des angles à la base dans les triangles réunis en O est moindre que la somme . des angles à la base dans les triangles réunis en S. Et

comme la somme de tous les angles doit être là même dans les premiers triangles et dans les derniers, la somme des angles en O sera plus grande que la somme des angles en S; donc, etc.

Tiiéohème XXXIX.

447. Dans tout angle trièdre, la somme des angles dièdres est plus grande que i droits et plus petite que 6.

Nommons A, B, C les angles dièdres du trièdre donné, et a', b', c les faces correspondantes du trièdre supplémentaire. Nous aurons

A = a rf — a', H = i d — b', C — — d,

d’où

Donc, t° la somme des angles dièdres est plus petite que G' 1 . Mais a b' - 1- c' est moindre que 4‘‘ donc , a° la

somme des angles dièdres est plus grande que a' 1 .

—fi

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