I, I V H E SIXIEME

Par suite, les côtés du triangle A'IV'C" sont parallèles respectivement à ceux du triangle ABC, et le plan A"B"C" est parallèle à ABC ; donc (519) les tétraèdres SA''B"C", SABC sont semblables.

Théorème XXIV.

524. Deux tétraèdres sont semblables , lorsqu'ils ont une face semblable, adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun , et semblablement disposés.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ce théorème et le suivant.

Théorème XXV.

525. Deux tétraèdres sont semblables , lorsqu'ils ont cinq angles dièdres égaux , chacun à chacun , et semblablement disposés.

Théorème XXVI.

52B. Deux polyèdres semblables ont les faces homologues semblables , les angles dièdres et les angles polyèdres égaux, chacun à chacun.

i°. Considérons d’abord un polyèdre convexe P. Décomposons ce polyèdre en tétraèdres, ayant pour sommet commun un point O, intérieur à P. Prenons ensuite arbitrairement un point O', et construisons, avec ce point comme sommet, une série de tétraèdres semblables à ceux qui composent le polyèdre P, et disposés de la même manière. Nous obtiendrons un polyèdre l y , semblable à P. Nous appellerons sommets homologues, dans ces deux polyèdres , ceux qui seront homologues dans deux tétraèdres correspondants; arêtes homologues , celles qui aurout des extrémités homologues, etc.

En premier lieu , les surfaces de nos deux polyèdres

sont évidemment composées d'un même nombre -de triangles, semblables chacun à chacun, et assemblés de la même manière.

Secondement , si deux ou plusieurs triangles de P sont dans un même plan , et forment une même face de ce polyèdre, leurs homologues seront dans un même plan ; et les deux surfaces polyédrales seront composées d’un même nombre de faces, semblables chacune à chacune.

En effet , l’angle dièdre qui a pour arête AC (Jig- 246) et pour faces BAC, OAC, est égal à l’angle dièdre B' A'C’O', à cause de la similitude des tétraèdres BACO, B A'C'O'. De même, l’angle dièdre OACD est égal à son homologue. Si donc les deux triangles BAC, CAD sont dans un même plan , les deux angles dièdres B' A'C'O', O' A C I)' étant. supplémentaires ( 438 ), leurs faces B' A'C' et C'A'D' seront dans un même plan.

Le même raisonnement prouve que si les deux triangles BAC, DAC ne sont pas dans un même plan , l’angle dièdre BACD sera égal à B'A'C'D'. Donc, dans les deux polyèdres P, P', les angles dièdres homologues sont égaux.

Si actuellement nous prenons, dans P et F, deux angles homologues , nous voyons , d’après ce qui précède , que ces angles polyèdres ont les faces égales et les angles dièdres égaux; donc, ils sont égaux.

Le théorème est donc complètement démontré pour deux polyèdres convexes semblables.

2 0 . Un polyèdre non convexe peut toujours se décomposer en un certain nombre de polyèdres convexes. Or, si deux polyèdres convexes P et Q, ayant une face commune A, sont semblables à deux polyèdres P' et Q, le polyèdre formé de P et Q sera semblable à celui qui résulte de F et Q', si ces derniers sont unis suivant la face homologue à A, et si le rapport de similitude est le même