f Corollaire. — La sphère est une surface convexe

549. 8 e Corollaire. — Un polyèdre inscrit dans la sphère (c’cst-à-dire dont tous les sommets sont situés sur la surface sphérique), est convexe.

550. Remarque. — D’après le quatrième corollaire, si l’on joint le centre de la sphère (fig. 269 ) et le centre D d’un petit cercle ABC, par un diamètre POI y , ce diamètre sera l’axe (575) du petit cercle. Donc, chacune de ses extrémités P, P', est également éloignée de tous les points de la circonférence ABC. Cela étant, les points P et F sont appelés pôles de cette circonférence. Ainsi,

554. Le pôle d’un cercle de la sphère est V extrémité du diamètre perpendiculaùe au plan de ce cercle. Tout cercle, tracé sur la sphère, a deux pôles.

552. Si , par 1 axe PF, nous faisons passer plusieurs circonférences PAF. PBP , PCP,..., tous les ares PA,

t. Éoni'rniK.

PB, PC,... seront égaux entre eux, comme tsous-lendus par des conles égales. Il suit de là que si l’on place en P l’une des pointes d’un compas , et qu’avec une ouverture égale à la corde PA, on trace une courbe sur la sphère, cette courbe sera une circonférence, ayant pour pôle le point P. On voit donc que sur la sphère, comine sur un plan, on peut facilement tracer des circonférences.

553. Si l’on veut, du point P comme pôle, décrire une circouférehcC de grand cercle EFG* on doit prendre une ouverture de compas égale à la diagonale du carré construit sur PO comme côté; ou, ce qui revient au même, il faut que l’arc PE, compté sur un grand cercle perpendiculaire à EFG, soit un quadrans.

Théorème n.

554. Tout plan perpendiculaire à l'exirc.niitè d'un rayon est tangent à la sphère.

Soit le plan MN (Jigï 270 ) perpendiculaire à Pcx-, trémité du rayon OA ; je dis que co plan 11 aura que le point A de commun avec la sphère, c’est-à-dire qu’il sera tangent en A.

Menons, par OA, un plan quelconque; il Coupera la sphère suivant une circonférence de grand cercle, et il coupera le plan suivant une droite perpendiculaire au rayon; cette droite sera tangente, eu A, à la circonférence; donc, etc.

Théorème III.

555. A tout tétraèdre, on peut circonscrire une sphère: mais on n'en peut circonscrire qu'une.

Soient E, F ( fig. 271 ) h-s centres des cercles circonscrits aux faces ABC,. DBC. Menons les droites EE’,

j , Livre ^sBPjii fou? *

l’F respectivement perpendiculaires à ces faces. Je dis que ces perpendiculaires se couperont en.un môme poiul O, également distant des quatre sommets du tétraèdre.

Ku effet, ces droites F.E', FF sont situées dans le plan EFG, perpendiculaire au milieu de BC (378); de plus, elles sont les axes des deux cercles; donc, etc.

Il suit de là que la sphère qui aura pour centre le point O, et pour rayon la distance OA, passera par tous les sommets du tétraèdre.

.‘>56. Corollaire* — Quatre //oints, non situés dans un tnt’me f/lan, déterminent une sphère.

T iiéorbme IV.