BC X*AA' = AB X CD

d ou

V = jîrAA' X AB X CD; etc.

a°. Si le côté AB ( jig . 317 ) prolongé rencontre l’axe,

nous aurons r- .

vol. ABC = vol. ACE — vol. BCE

= surf. AEX7CD — surf. BEX|CD=surf. ABX7CD.

3°. Enlin , si le côté AB (Jig . 3i8) était parallèle à l’axe, le volume engendré par ABC se composant du cylindre engendré par ABA'B', diminué des cônes engendrés par AC A’ et p%r BCB', le, théorème se vérilie encore plus simplement.

Théorème XV.

GG 2 . Le corps engendré par un triangle ABC (Jig. 3 19), tournant autour d'un axe XY situé dans' son plan, a pour mesure faire du triangle, multipliée par la circonférence <jue décrit son centre O des moyennes distances.

Abaissons sur l’axe XY les perpendiculaires AA' = a , BB' = b, CC' = c; et désignons A’C' par a. et B’C' par ji.

Le corps engendré par ABC se compose du tronc de cône engendré par ABB'A', diminué de la somme des troncs engendrés par ACC'A' et BCC'B -, donc , en désignant par V le volume cherché , nous aurons (6A8)

=r — (a’Hpc’-Vac'a—

La quantité' entre parenthèses peut être mise sous la forme

(6'M- ab — c 1 — oe)a -+- (a‘ a b — c 1 — bc\ p ,, ou ' , *

ou encore

donc

y - if + ^ + c x (ô — c)a + (a — c)P

Observons actuellement que le triangle ABC se compose du trapèze ABB'A', diminué de la somme des trapèzes ACC'A' et BCC'B' ; donc l’aire de ce triangle égale

a + V , ft) ?±f a b + c k - (Ô — c)a -f- (a —

2 ^ Tl. 2 ‘ 2

Cette dernière quantité forme le second facteur de V. Quant au premier, il représente évidemment la circonférence décrite par le point O ( 228 ); donc, -etc.