KG' = ME

donc

surf. EG -+- surf. FH = (EG -F FH) X a 77 , MK'.

On aura de même

surf. AE 4 - surf. AF = (AE 4- AF) X a.rrME', surf. GI 4- surf. HK =.(GI 4- HK) X ïjtME', etc. ;

d ou, en ajoutant,

sprf. AEG...HFA — périm. AEG...HFA X circonf. ME'.

Le théorème étant démontré pour la surface engendrée par le polygone AEG. . ., on l’étendra, par la méthode des limites j à la surface engendrée par la courbe.

676. Supposons que la génératrice ACBD ( fig . 3a4) soit une circonférence, auquel cas la surface engendrée est celle d’un anneau ou d’un tore; soient R le rayon de cette circonférence et a la distance OM de son centre à l’axe de rotation; nous aurons, en désignant par A l’aire de la surface,

A = /{tc' R n;

et si a — R , auquel cas la circonférence tourne autour de ' sa tangente,

Ainsi :

Corollaire. — L’aire de la surface engendrée par ufie circonférence de rayon R, tournant autour de sa tangente , est à l'aire de la surface sphérique de rayon R, comme tc est à i .

Théorème XXH. t

677. Si une figure plane, symétrique par rapport à une droite, tourne autour f un axe parallèle à celte droite et situé dans le plan de la figure , le corps engendré aura pour mesure l’aire de la génératrice , multipliée par la circonférence que décrit un point quelconque de la droite.

Ce théorème se démontre comme le précédent.

678. Corollaire . — Soient R le rayon du cercle générateur d’un tore, a la distance du centre à l'axe de rotation, et V le volume du tore,

V ~ ji’R’bj

xt si a = R ,-

V = 2jt ! R 3 . .

• il •