Toute corde est plus petite que le diamètre

En effet, dans le triangle AOB (fg. 56)„.on a

i AB ^ AO —t— OB.

155. Corollaire. — Le diamètre est la plus grande droite inscrite dans le cercle.

Air T - t **’ ‘ '* *

Théorème IV.

156. i °. La perpendiculaire à P extrémité d’un rayon est tangente à la circonférence ;

a°. Toute oblique à l'extrémité d'un rayon est sécante.

i°. Soit la droite BC l^fig- 5y), perpendiculaire à l’extrémité du rayon OA. Si nous prenons sur BC un point

UVIIE DEUXIEME.

quelconque M, différent de A, l'oblique- ÜM sera j)Uis grande’qucla perpendiculaire OA; et le point AI, distant du centre d’une quantité plus grande que le rayon , sera extérieur au cercle. Donc la droite BC sera tangente à la Virconfévence.

a 0 . Soit la droite AB ( fig . 58), oblique à l'extrémité du rayon OA. Si nous menons du centre une perpendiculaire sur AB, cette perpendiculaire sera plus petite que l’oblique OA , et son pied sera intérieur à la circonférence ; donc la droite AB sera sécante.

Réciproques. — i°. La tangente est perpendiculaire à l'exirèmilé du rayon mené au point de contact.

2 °. La perpendiculaire abaissée du centre sur une

tangente, passe par le point de contact. t

157, Corollaire. — Deux tangentes menées aux extrémités il 7 un meme diamètre sont, parallèles.

158. Scolie. — Une droite est sécante, tangente ou m extérieure à la circonférence, selon que sa distance au

centre est inférieure, égale ou supérieure au rayon.

Tiiéoreme V.

159. A tout triangle, on peut cùvonscrire une circonférence, mais on n'en peut circonscrite qu'une. ,

Les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle se rencontrent en un point unique, également distant des trois sommets (108 b. t 109). Lie point est donc le centre d’une circonférence circonscrite au triangle! D'ailleurs, avec un centre et un rayon donné-s, on ne peut tracer qu’une seule circonférence ; donc, etc.

Théorème VI.

100. A tout triangle , on peut inscrire nue circonférence . mais on n'en peut inscrire qu'une

îÂ

Diflitizfc^y Qxiglç

36 f GtoMih-niE.

Les bissectrices des angles intérieurs se rencontrent en un point unique , également distant des trois- Côté» (lit et 1 12). Si l’on abaisse de ce point des perpendiculaires sur les côtés, elles seront égales; donc la circonférence décrite du môme point comme centre, avec une de ces" perpendiculaires pour rayon, sera située dans l’intérieur du triangle et aura pour tangentes les trois côtés (1 ;j 8). Donc celte circonférence sera inscrite au triangle, etc.

161 . Remarque. — Si l’on proposait cette question générale : tracer une circonférence tangente à trois droites données AB, BC, CA (Jig. 5g), on trouverait pour solutions, d’abord la circonférence O, inscrite au triangle ABC, et ensuite trois circonférences D, E, F extérieures au triangle, ayant pour centres les points où les bissectrices des angles extérieurs sont rencontrées par les bissectrices des angles intérieurs (111). Ces circonférences sont dites ex-inscrites au triangle.

•a df.