LIVRE DEUXIÈME

1°. Soient les deux cercles égjiux O, O (Jig. 72), et soit ACB = A'C'B'. Je dis que les angles au centre AOB, A'O'B' sontdgaux.

Menons les cordes ÀB, A B*: ces cordes seront égales ( 162 b Par suite, les triangles AOB, AOB seront égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc, etc.

2 0 . Si les deux arcs égaux sont situés sur une même cir- . conférence , 011 ramènera ce cas au précédent , comme on a fait au u° 102.

• Tuf.oheme XVI.-

® 179 . Dans un intime cercle ou dans des cercles égaux ,

les angles au centre sont entre eux comme les arts correspondants. ■'

Par la [déposition précédente, nous pouvons toujours supposer que les deux arcs sont situés sur la meme circonférence, et que, lçprs extrémités coïncidant , le plus petit arc soit appljq«é sur le plus grand.

Cela posé, soient AB, AC (Jig- 7$) 1 ÜS deux arcs, AOB, AOC les deux angles correspondants. Je dis que le rapport des angles sera égal à celui des arcs, ou que l’on aura

AOB AB AOC — AC’

Il y a deux cas à distinguer, selon que les arcs AB, AC sont commensurablcs ou îhcommensurablcs entre eux.

i°. Supposons les arcs AB, AC commensurablcs, et soit A a leur commune mesure. Supposons en outre , pour literies idées, que cette commune mesure soit contenue 5 fois dans l’arc AB , et 8 fois dans l’arc AC , de telle, sorte que le rapport de ces arcs soit J. Divisons 1 arc ABC. en 8 parties égales; cl, par les points de divisibn n,

t\ 4 GÉOMÉTRIE.

b , c,..., et le centre O, menons les drpitcs indéfinies On,

O h, Oc,... Il résultera, de cette construction, des angles AO<? , aOb , . . . , tous égaux entre eux , comme répondant à des arcs égaux. Or, les angles AOB, AOC contiennent 4 respectivement 5 fois et 8 fois l’angle AOn, qui peqfètre regardé comme leur commune mesure. Le rapport ■ de AOB à AOC est donc j. Donc , etc.

2°. Supposons les airs , AB, AC ( Jig . 74) incommensurables entre eux. Je dis que l’on aura encore

AOB AB

AOC — AC #

Pour bien fixer le 6ens de cette proposition , il est cs-% scntiel de rappeler la définition du mot rapport, lorsqu'il s'agit de quantités incommensurables.

Divisons l’arc AC en » parties égalgs; soit ' D le dernier point de division, précédant le point B, et soit m le nombre des divisions contenues dans AB,. Divisons ensuite l’arc AC en ri parties égales ^ moindres que DB.

Soit IT le point qui précède le point B ,*ct soit ni le nombre des divisions contenues dans AB. Continuons ainsi 1

indéfiniment.

Nous obtiendrons une série*. de points D, D', D", . . . qui s’approcheront indéfiniment du point B, sans jamais pouvoir coïncider avec B. Nous obtiendrons , d’autre part , deux séries de nombres n , ri, ri',..., m, ni, tri ’,..., lesquels augmenteront de plus en plus. Cela posé , puisque les différences BD, BD 1 , BD"*... diminuent indéfiniment, de manière à pouvoir devenir moindres que toute quantité assignable , l’arc AB est la limite des arcs AD,

a tv 1 t AD AD' AD" . . ,

AD, AD,... Les rapports — > — > —, rcspective-

ment exprimes par > ^77 , • • • , tendent donc vers

PiiT,7nrih. >■ , f . — 1

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