CE=:CD
et que Démontrer que
CG = CH=r^ — 6.
^ = {p — a]r' d'où S* := j? [j) — a) r r'.
Remplacer rr' par un praduil éc^uivalent au moyen des triangles semblables CID, CrC, et démontrer que
493. Calculer l'aire d'un trapèze en fonction des quatre côtés : les deux bases ont 45 mètres et 3o mètres et les côtés non parallèles 17 mètres ut 25 mètres.
494. On prend les milieux M et N des médianes BD et CE du triangle ABC. Calculer la surface BMNC en fonction de la surface du triangle ABC.
495. Sur la bissectrice d'un angle droit XOY, on prend trois points équidistants A, B, C. Des points A et C on mène des parallèles à OX, rencontrant OY en A' et C, et par le point milieu B on élève la pcrpcndi-
culaire à OC, coupant OX en B'. Démontrer que l'aire i}u triangle AB'C est égain à i'aire du trapèze AA'CC
496. Le parallélogramme qui a pour sommets les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque est la moilié de ce quadrilatère.
497. Montrer que l'aire d'un trapèze est égale au produit de Tun des côtés non parallèles par sa distance au milieu du côté op|M>sé.
EXERCICES PRATIQUES
498. Construire un hexagone régulier de 5o de côté; calculer le rayon d'un cercle équivalent; construire ce cercle concentriquement a l'iiexagone ; comparer son rayon à l'apothème et au rayon de l'hexagone.
On prendra pour - la valeur o,3i83.
Reclifier ce cercle, et comparer sa longueur avec le périmètre de l'hexagone.
499. Constiiiire un carré ayant 40 de côté, et prolonger les côtés. Marquer les intersections de ces prolongements avec les cercles concentriques aux sommets, ayant pour rayon une demi-diagonale. Démontrer que les points obtenus sont les sommets d'un octogone régulier. Evaluer l'aire de cet octogone, en utilisant la décomposition en un carre, 4 rectangles, et 4 triangles rectangles isocèles dont la somme équivaut au carré.
500. Admettant pour n la valeur y'a 1" V^>et par suite pour ttU* la valeur rV^ "•" ^V^» c(»nstruire :
1» Les longueurs Ry^a et Ryl (côté du carré et côté du triangle équilatéral inscrits dans le cercle de rayon R) ;
a» Les rectangles dont les aires soient rV'-» et R*y/Î ;
3» Les carrés équivalents à ces rectangles ;
4® Le cirrc équivalent à leur somme.
Conclure que ce carré réalise approximativement la quadrature du cercle.
EXERCICES THÉORIQUES
501. De chaque sommet d'un triangle cquilatéral comme centre, on décrit avec le côté a pour rayon un arc de cercle limité aux deux autres sommets. Gilculer l'aire du triangle curviligne ainsi obtenu. Application numérique : a z=: lo*"».
502.. D'un point quelconque C d'un demi-cercle on abaisse la perpendiculaire CD sur le diimctre AB et on décrit des demi-cercles sur les segments
AD et BD comme diamètres. Quelle est la mesure de l'aire comprise entre les trois demi-cercles ?
503. Calculer la portion de surface d'un cercle de rayon R limitée par deux cordes égales et parallèles ayant pour dislance R.
504. On donne un quart de cercle limité par les rayons rectangulaires OA, OB. On décrit sur OA et OB comme diamètres des demi-cercles à l'intérieur de OAB. Évaluer les surfaces des dilVérentcs régions déterminées dans le quart de cercle.
505. Deux cercles Oet 0' de rayons R et-^ sont tangents extérieurement
en B. On mène la tangente commune extérieure AA'. Calculer en fonction de R l'aire comprise entre AA' et les arcs AB et A'B. Application : R r= 9 centimètres.
506. Le cercle inscrit dans un triangle rectangle est équivalent à la somme des cercles inscrits dans les deux triangles rectangles déterminés par la hauteur issue du sommet de l'angle droit et par riiy|>olénuse.
EXERCICES PRATiaUES.
507. Construire un triangle dont les côtés ont 64, 76, 100. Diviser chaque côté en 4 (larties égales, et, par chaque point de division sur un côté, mener des parallèles aux deux autres côtés; observer que le triangle est alors partagé en 16 triangles égaux. Quel est le théorème que véritie cet exercice?
508. Etant donné un triangle équilatcral de 60 de côté, construire un autre triangle équilatéral dont l'aire soit moitié moindre; calculer son côté pour vérifier la construction.
509. Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A, ayant AB=:3o. On construit CD = 3o perpendiculairement à BC ; DE r= 3o perpendiculairement à BD; EF = 3o perpendiculairement à BE. Ainsi de suite. Voir suivant quelle règle se succèdent les aires des carrés construits sur BC, BD, BE, etc., et suivant quelle règle se surcèdent les aires des triangles ABC, ABD, ABE,
510. Con>truirc le triangle rectangle ABC, quelconque; par exemple, AB = 56: AC = 9o, d'où résultera BC=: 106.
Sur BC, et du même côté que A, construire le carré BCDË.
Sur AC, construire le carré ACKG, dont le côté FG passe par D, AG coupant DE en L.
Sur AB, construire le carré ABHK, du côte où se trouve C; HK coupe BC en M.
E se projette sur AG en N.
Observer que le quadrilatère ACDL est commun aux carrés ACFG, BCDE ; que ABMK est commun à ABHK et à BCDE; que les triangles CFD et BEN sont égaux, ainsi que MCK et DLG, et que ENL et BMIl.
Découper ces dilVérents polygones pour les assembler comme le montre la figure, soit {)Our constituer les deux carrés ACFG et ABHK, soit jiour
constituer le cârrc BGDE, et pour obtenir ainsi une flémonfitration pratique du théorème de Pytbagore.
511. Gonstniire le triangle ATtC, ayant AB = .îIq, BC=:6o, CA=:7o; porter sur CA la longueur CI) égale au eùté du carfé dont G A est la diagonale ; mener DE parallèle à AB. Démontrer que H^ divise le triangle en deux parties équivalentes.
Tracer la hauteur GF relative à AB; elle coupe Q^ en H. Vérifier que le carré dont le cAlé est Cil a sa diagonale égale à GF.
512. Reprendre le triangle ABC de l'exercice pppcédcnt. Diviser AC en
5 parties égnles. Soit AD = s de AG. Décrire le d^jmi-cercle de diamètre
AC, élever perpendiculairement h AC la demi-corde DE, rabattre AE en AF sur AG, et mener FH parallèle à GB. Démontrer que le triangle AFII
est les - du triangle ABC. Conclure le moyen de pqrlagcr le triangle ABC
en 5 parties équivalentes par des parallèles à BG.
513. Construire deux carrés, l'un de 20 millimètres de côté, l'autre de 60. Diviser le second en carrés égaux au premier, compter les carres obtenus, o\ voir quel est le théorème vérifié par cet exercice.
514. Même exercice, en prenant 40 et 70 pour les de^x carrés à consiruire, qui seront partagés en centimètres carrés, pour voir qye, si Ton rend 7 fois plus grand le côté d'un carré, son aire est rendue 7* ou 4«) fois plus grande ; et que le rapport des aires des deux carrés est égal au carré du rap^iort des côtés.
EXERCICES THÉORiaUES.
515. Les trois triangles ayant pour base chacun des trois côtés d'un triangle et pour sommet commun le point de concours des médianes de ce triangle sont équivalents.
516. Si les deux triangles ABC, A'B'G' ont les anules A et A' égaux ou
supplémentaires, le rapport de leurs aires est égal au rap()orl jj—-, — ^,-
517. Diviser un triangle en deux paitics équivalentes par une per|»endiculaire à un côté.
518. Étant donné un triangle T, on construit un anire triangle T' dont les côtés sont égaux respectivement aux médianes du triangle T. Démontrer
que le rapport des aires des triangles T' et T est égal à —
519. Dans le trapèze ABCD, les côtés non parallèles AD et BG se coupent en E, et les diagonales se conpent en F. Exprimer, en fonction de AB = fc et de CD = 6' le rapport des aires des triangles EAB et FAB.
520. Construire un polygone semblable à un polygone donné, et dont
l'aire soit égale aux - de l'aire de ce polygone.
