Théorème

— En un point d'un plan on peut élever une perpendiculaire à ce plan et une seule.

Soit un plan P et un point de ce plan (fîg. 283). Prenons une droite quelconque D', et, en un point 0' de celte

Fig. 283.

ANGLES DIÈDRES. PLANS ET DROITES PERPENDICULAIRES. 31^ droite, élevons le plan perpendiculaire P'. Transportons cette figure de façon que F coïncide avec P et 0' avec O.

La droite D' viendra occuper la position D perpendiculaire à P en 0.

Cette .droite D est d'ailleurs la seule perpendiculaire à P en O; car soit D, une autre droite passant par 0. Le plan DOD, coupe le plan P suivant une droite A et, dans ce plan, D étant perpendiculaire à A, D, ne l'est pas.

La droite D, n'étant pas perpendiculaire à A n'est pas perpendiculaire au plan.

458. — Circonstances générales du mouvement de rotation. — De ce qui précède, il résulte que :

Dans un mouvement de rotation autour d'un axe:

V II existe une infinité de plans (perpendiculaires à Vaxe) qui glissent sur eux-mêmes dans le mouvement de rotation;

2° Tout point lié invariablement à Vaxe décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre est sur Vaxe.

Soit, en effet, XY l'axe (fig. a84) et M un point lié invariablement à cet axe. Dans le plan déterminé par XY et M, abaissons de M la perpendiculaire MO sur l'axe. Dans la rotation autour de XY, le point O reste fixe, la droite OM, perpendiculaire à XY, décrit {n" 454) le plan P per- | Y

pendiculaire en à XY, et Fig. asi. — Rotation.

comme la distance OM est

constante, le point M décrit, dans le plan P, un cercle de centre O et de rayon OM.

11 est clair, d'ailleurs, qu'il n'y a pas d'autres plans glissant sur eux-mêmes que ceux qui sont perpendiculaires à Taxe ; car, si un plan P (Vig. 283) glisse sur lui-même une rotation de i8o« amène une droite OM en son prolongement

BouRLET. — Éléments de géom. 20

Fig. a85.

506 ÉLKMENTS 1)E GÉOMÉTHIE.

OM',et les deux angles.MO)C et M'OX, étant égaux et sup plémentaires, sont droits. L'axe XY est donc bien perpendiculaire à toute droite OM passant par son pied O dans le plan P.