OA = OD<OC

483. — Réciproque. — Inversement, si on joint un point extérieur à un plan P à divers points de ce plan par des segments de droite :

V La ligne la plus courte est la perpendiculaire OH;

T Deux obliques égales s'écartent également du pied H de la perpendiculaire;

3^ De deux obliques inégales la plus longue est celle qui s'écarte le plus du pied H de la perpendiculaire.

Ces réciproques se démontrent par ïabsurd>e comme en géométrie plane.

iSA. — Distance d'un point à un plan. — Définition. — On appelle distance d'an point h un plan la longueur delà perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan.

C'est le plus court des segments de droite allant de ce point à un point du plan.

^5. — Théorème. -—

Fig. 3o3. — Distance de deux plans parallèles.

Lorsque deux plans sont parai- .lèleSy tous les points de l'un sont à la même distance de Vautre.

Cette distance commune est ce qu'on appelle la distance des deux plans.

Soient P et P' (fig. 3o3) deux plans parallèles, A et B deux points quelconques du plan P, AA' et BB' les perpendiculaires abaissées de ces points sur le plan F.

Les droites AB et A'B' sont parallèles comme intersec-

DISTANCES. PHOJECTIONS. 519

lions du plan des droites AA' et BB avec les deux plans parallèles P et F (n« A2^). La figure ABB'A' est un rectangle; les côtés opposés AA' et BB sont égaux.

Remarque. — Les perpendiculaires telles que AA'et BB sont perpendiculaires à la fois aux deux plans P et F; ce sont des perpendiculaires communes,

La distance de deux plans parallèles est la longueur de leur perpendiculaire commune limitée aux deux plans.

ASS. — Corollaire. — Le lieu géométrique des points à une distance donnée d*un plan donné est un système de deux plans parallèles au plan donné et situés de part et d*autre de ce plan.

Le théorème précédent n'est ci qui se démontre d'ailleurs

W. — Généralisation. — qu'un cas particulier de celui de la même façon.

Deux plans parallèles interceptent sur des droites parallèles des segments égaux,

488..— Théorème. — Pinsieurs plans parallèles interceptent sur deux sécantes des segments proportionnels.

Soient P, P', P" trois plans parallèles (fig. 3o4), coupés par des sécantes en A, A' A" et B, B', B ". Menons par B" une parallèle à AA' qui coupe P et P' en C et C. On a :

AA'=CC' et A'A" = C'B'',

comme portions de parallèles comprises entre plans parallèles (n* 487). Or, dans le plan CBB", les deux droites

r>^iO ÉLKMENTS DE GEOMETRIE.

en elC H' sont parallèles comme intersections de ce plan par deux plans parallèles. Par suite, dans le triangle B"CB la parallèle B'C à la base BC partage les côtés en parties proportionnelles, On a donc :