DISTANCES. PROJECTIONS

Fig. 3o6. — Projection d'une droite.

A9i. — Problème. — Mener par une droite D un plan perpendiculaire à un plan P.

!• Si la droite D est perpendiculaire à P, tout plan passant par D est perpendiculaire au plan P (n" A12). Il y a donc une infinité de plans répondant à la question.

a" SoitD unedroite (fig.3o6) non perpendiculaire au plan P. D'un point A de la droite, abaissons la perpendiculaire Aa sur le plan P. Les deux droites Aa et D étant distinctes déterminent un plan qui est perpendiculaire

à P, puisqu'il contient Aa. C'est d'ailleurs le seul plan répondant à la question, car tout plan perpendiculaire à P et passant par D contient (n" 474) la perpendiculaire Aa puisqu'il contient A.

492. — Projection d'une droite. — Toute droite perpendiculaire au plan de projection se projette suivant an point.

Car si la droite D (fig. 3o7) est perpendiculaire au plan P, la projetante de tout point M de la droite se confond avec la droite D et la projection de M sur le plan est le pied de la perpendiculaire D.

Tous les points de la droite D se projettent en son pied O : Ce point est la projection de la droite.

Toute droite non perpendiculaire an plan de projection Fig. 307.

se projette suivant une droite.

Soit D (ïig. 3o6) une droite non perpendiculaire au plan BouRLET. — Éléments de géoh. 21

Fig. 3o8. — Projection d'un poly^'one.

de projection P. Menons le plan passant par D et perpendiculaire au plan P (n« 491). 11 coupe le plan P suivant une droite d. Les projetantes Aa, Mm de tous les points de D sont situées dans ce plan qu*on appelle le plan projetant la droite D. Les projections a, m, de tous les points de D sont donc situées sur la droite d, qui est la projection de D. Si la droite D n'est pas parallèle au plan P, elle le coupe

en un point situé sur d qui est à lui-môme sa proi|C jection.

493. — Conséquences. — La projection d'une ligne brisée est une ligne brisée.

La projection d'un polygone est un polygone plan.

Soit ABGDE un polygone dans Tespace (fig. 3o8). Projetons ses sommets en a, h, c, d, e sur le

plan P. La droite AB se projette en ab, BC en hc, etc. La projection

du polygone ABCDE est donc le polygone abcde.

A9A. ~ Théorème. — Les projections de deux droites parallèles, non perpendiculaires au plan de projection y sont deux droites parallèles.

Soient AB et CD deux droites parallèles (fig. Sog) non perpendiculaires au plan de projection P. Les deux plans, aAB et cCD, projetant les droites, sont parallèles comme plans de deux angles ayant leurs côté^ parallèles (n» HO). Leurs intersections ab et cd avec le plan P sont donc parallèles.

Fig. 3o9.

495. — Conséquences. — projection d'un parallélogramme est un parallélogramme.

Soit abcd (fig. 3ïo) la projection du parallélogramme ABCD. AB et CD étant parallèles, ab et cd le sont aussi.

De même ad et cb sont également parallèles. La figure abcd est donc bien un parallélogramme.

Deux Eegznents rectilignes égaux et parallèles se projettent suivant des segments égaux et parallèles, Fig. 3io. — Projection d'un

parallélogramme.

Car si les deux segments AB et DC (fig. 3io) sont égaux et parallèles, la figure ABCD est un parallélogramme; la projection abcd est aussi un parallélogramme, donc ab et de sont égaux et parallèles.

EXERCICES THÉORIQUES

521. Pourquoi les artisans qui veulent dresser une surface, c'est-à-dire la travailler de manière qu'elle devienne plane (planche, parquet, dallage), appliquent-ils de temps en temps l'arête d'une règle ou d'un rabot sur la surface?

522. Montrer que pour déterminer l'intersection d'une droite D et d'un plan P, on peut faire pasécr par la droite D un plan quelconque P' dont on sait construire l'intersection A avec le plan P, et prendre le point de remcontre de D et de A. Comment se déplace la droite A quand on fait tourner le plan P' autour de D?

Voir si cette méthode est applicable pour construire l'intersection d'une courbe plane C et d'un plan P.

523. Prendre un point quelconque dans un plan donné, c'est-à-dire construire un point quelconque dans un plan déterminé par deux droites qui se coupent ; — par une droite et un point extérieur ; — par trois points formant triangle ; — par une figure plane quelconque.

Mener d'abord une droite quelconque dans le plan.

524. Étant donnés un point quelconque A et deux droites concourantes D| et Dj, par quelle construction théorique peut-on rechercher si le point A appartient ou non au plan P déterminé par Dj et Dj?

Même question si le plnn P était déterminé par une figure plane quelconque.

Joindre A à un point quelconque de D^ .

525. Étant donnés deux droites quelconques D| et D,, et un point A extérieur à chacune d'elles, construire théoriquement une droite A passant par le point A, et rencontrant D, et D,. Discuter.

526. Construire théoriquement une droite A rencontrant trois droites quelconques Df, D^ et Dj. Montrer que le problème a une innnilé de solutions. Discuter.

527. Soient Dj et D, deux droites quelconques, P un plan variable qui passe par D| et par un point A quelconque pris sur D^. Démontrer que si dans l'une quelconque de ses positions, le pian P ne contient pas D^, il ne la contiendra pas non plus quand on fera varier le point A sur D^.

528. Soient A, B, C, D, quatre points qui n'appartiennent pas à un même plan. On fait passer un plan par trois de ces points, et un second plan par trois autres de ces mêmes points. Quelle est leur intersection? De combien de manières ces deux plans peuvent-ils être choisis?

529. De tous les points d'une droite D^, on abaisse des perpendiculaires sur une autre droite Dj, et on trouve que toutes ces per|)endiculaires sont dans un même plan. Comment sont disposées les droites D| et D^?

530. On considère des droites concourantes OA, OB, OC,... en nombre quelconque, et situées ou non dans le même plan.

Chacune d'elles détermine un plan avec un point donné M, qui n'appartient à aucune de ces droites. Quels sont les points communs à tous ces plans ?

531. Les plans considérés dans l'exercice 530 coupant un plan fixe II, qui rencontre DM, quelle particularité présentent leurs intersections avec ce plan?

532. On donne deux droites concourantes D^ et D^ et une troisième droite quelconque A qui ne les remontre pas. Quel est le lieu de la droite suivant laquelle se rencontrent les plans MJ)| et MD^, M étant un point variable sur A?

533. Si les droites D^ et D, ne sont pas dans un même plan, démontrer qu'on ne peut pas construire deux droites parallèles rencontrant en même temps Di et D^.

534. Etant donnés quatre points A, B, C, D non dans un même plan, on joint chacun d'eux au point de concours des médianes du triangle formé par les trois autres.

Démontrer que les quatre droites obtenues passent par un même point, situé sur chacune d'elles aux trois quarts de sa longueur à partir du point considéré.

535. Soit ABCD un quadrilatère gauche, c'est-à-dire dont les quatre sommets ne sont pas dans un même plan. Sur AB, BC, CD ou sur leurs prolongements, on marque les points quelconques E, F, H. Construire l'intersection du plan EFH et des droites DA, AC, DB. ■

536. Soient SA, SB, SC trois droites indéfinies, D un point quelconque

du plan ASB, E un point quelconque du plan BSC. Construire l'intersection de la droite DE et du plan CSA. '

537. Soit ABCD un quadrilatère plan, d'ailleurs quelconque, S un point extérieur à son plan. Dans le plan ADCD, on mène la droite quelconque AE, et dans le plan ASD, la droite quelconque AF. Construire les intersections du plan EAF avec les plans ASB, BSC, CSD.

EXERCICES THÉORIQUES

538. On donne deux droites parallèles D, et Dg, et une droite quelconque A. Construire une droite qui rencontre A, et qui coupe à angle droit Di et D^.

539. Soient D^ et D^ deux droites parallèles, A et A' deux droites quelconques. Construire une droite qui rencontre Dj, Dj, A et A'.

540. Dans le quadrilatère gauche ABCD, on joint le point A à un point quelconque E de DB; sur AE, on marque le point quelconque F, et par le point F on mène la droite L parallèle à AC. Construire le point d'intersection de L et du plan BCD.

541. Soit ABCDE un pentagone plan, d'ailleurs quelconque, S un point extt^rieur à son plan, F un point quelconque de AB. Sur SF, on prend le point quelconque H, et sur CF, on prend le point quelconque I. Construire les points d'intersection de la droite indéfinie IH et des plans BSC, CSD, DSE, ESA.