Même question, en remplacent IH par HK parallèle à CE

543. Même question, en remplaçant IH par HL parallèle à SD; trouver en outre l'intersection de HL et du plan ABCDE.

544. Soient SA, SB, SC, SD, SE, SF des droites indéfinies, a, rf, e, trois points quelconques pris sur SA, SD, SE. Construire les points de rencontre du plan a d e et des droites SB, SC, SF.

545. Soit ABC...L un polygone plan quelconque, S un point extérieur à son plan. On considère les plans ASB, BSC,..., LSA, et on les coupe par un plan quelconque, qui les rencontre respectivement suivant A'B', B'C',..., L'A'. Démontrer que le lieu du point de rencontre de AB et'A'B', BC et B'C^..., LA et L'A' est une droite.

Le théorème subsiste si l'on remplace les concourantes AS; BS,..., LS par des droites parallèles à une droite donnée, ce qui revient à éloigner indéfiniment le point S sur une parallèle à cette même droite.

546. Des fils rigides de diamètre négligeable sont enchevêtrés comme pour former un filet dont les mailles sontégalesou non, mais de manière à être parallèles à Tune ou à l'autre de deux droites données A et A'. Ce filet est éclairé par un point lumineux, et ses lignes portent ombre sur un plan. Démontrer que les ombres portées sont des droites qui passent par l'un ou par l'autre de deux points fixes F et F'.

547. Par un point donné 0, faire passer un plan parallèle à une droite donnée D. Combien de solutions?

548. On donne un point et des droites parallèles Dj, D,,.... en nombre quelconque. I^s plans ODj, ODg.... rencontrant un plan fixe, quelle partieularitè présenteront les droites d'intersection?

549. Par un point donné, mener un plan parallèle à deux droites données.

550. Étant données deux droites quelconques D| et D^, mener par chacune d'elles un plan parallèle à l'autre. Quelle est la disposition des deux plans obtenus?

551. Étant donnés un point et deux droites quelconques Dj et D^, mener par une droite qui ne rencontre ni Dj ni Dj.

552. Étant donnés un point et deux plans quelconques Pj et Pj, mener par une droite qui ne rencontre ni P, ni P,.

553. Soient Dj, Dj, D, trois droites données quelconques. Mener par Dj un plan P^ et par D^ un plan P^, de manière que Pj et P, se coupent suivant une parallèle à D5.

554. Soient Dj, Dj,... D„ des droites parallèles, 04,0j,...0, des points quelconques. On suppose que chacun des plans Oj Dj, OjDj,... 0»Dh rencontre tous les autres, et on demande quel est le nombre et quelle est la disposition des lignes d'intersection.

555. Étant donnés deux plans P^ et Pj, et un point dans le plan Pj, mener dans ce plan par le point yne droite qui soit parallèle au plan Va..

556. Par une droite donnée D, mener un plan P qui coupe deux plans donnés P^ et P^ suivant deux droites parallèles.

557. Étant donnés un point 0, un plan P et une droite D, mener par le point une droite qui rencontre la droite D et qui. ne rencontre pas le plan P.

558. Constuire une droite D, parallèle à un plan P, et rencontrant deux droites données .Aj et A^.

La droite demandée ayant une infînité de déterminations, construire celle qui est en même temps parallèle à un second plan donné Q.

(Si A^ A. est une droite répondant à la question, et |coupant \ en A^ et A, en Aj, mener A^ B^ parallèlement à A, jusqu'au plan P et voir le lieu du point BJ.

559. Soient Pj et Pj deux plans fixes, D une droite fixe. Par un point M, variable sur D, on mène deux plans dont l'un est parallèle à Pj, l'autre parallèle à P^. Quel est le lieu de l'intersection de ces deux plans?

560. On donne trois droites quelconques Dj, Dj, D5. Construire (théoriquement) une droite parallèle à Dg, et rencontrant D^ et Dj.

561. SoitABCD un quadrilatère gauche, c'est-à-dire dont les quatre sommets ne sont pas dans un même plan.

Démontrer que les milieux de ses côtés sont les sommets d'un parallélogramme. Que devient le plan de ce parallélogramme quand on fixe les sommets A, B et C, le sommet D se déplaçant sur la droite indéfinie DB? Quel est alors le lieu du centre du parallélogramme, et quel est le lieu de la trace M de la droite DO dans le plan ABC?

562. Étant donnés quatre points A, B, G, D, non dans un même*plan, les

droites qui joignent les milieux de AB et CD, BC et AD, CA Qt BD passent par un même point, qui est le milieu de chacune d'elles.

563. Parmi toutes les droites considérées dans l'exercice 558, construire celle pour laquelle le serment AB a une longueur donnée.

Minimum de cette longueur.

Si cette longueur croit sans limite, que devient la direction et que devient a position de la droite correspondante ?

564. ABCD étant un qualrilatère gauche, on mène ses diagonales AC et BD. Soient E le milieu de AB, F le milieu de DE, H le milieu de EF. Par le point H, on mène le plan parallèle à AB et à CF. Construire les points de rencontre de ce plan et des droites AC, AD, BC, BD. Démontrer que ces points sont les sommets d'un trapèze, et déterminer le rapport des bases.

565. Soit ABCDE un pentagone plan, d'ailleurs quelconque, S un point extérieur à son plan. Par un point quelconque F du plan de la base, on mène le plan parallèle aux droites AB et SD. Construire les intersections de ce plan avec les plans ASB, BSC, CSD, DSË, ESA.

566. Lieu du point qui divise dans un rapport donné les segments compris entre un point fixe A, extérieur à un plan tixe P, et lAi point variable B du plan P.

567. Soient D^ et D^ deux droites quelconques qui coupent un plan P

en Al et A^; si B^ B^ est une droite qui rencontre D^ et D^ et qui est

parallèle au plan P, démontrer que le lieu du point M qui divise B^ B^

dans un rapport donné (et qui est toujours entre B| et B^ ou toujours sur le

prolongement de B| B^) est une droite, et que cette droite reste parallèle

MR à un plan fixe quand on change la valeur du rapport —— î .

MBjj

Mener B,C parallèle à D^ jusqu'à son intersection C avec le plan P; lieu du point G quand B, varie sur D, ; mentir de même MM' parallèle à D^ jusqu'à sa trace M' dans le plan P ; lien de M'. Si E est le point du lieu situé sur A, A^, \p. triangle MEM' est semblable à un triangle fixe.

568. Dans un plan P, on donne deux droites A et D^ ; extérieurement au plan, une droite Dj est parallèle à Dj. Sur Dj on fixe un segment AB ; sur Dj oni place un segment CD, de longueur constante, que l'on déplace en translation de glissière A. AC et BD se coupent en I ; AD et BC se coupent en K. Déterminer le lieu du point I et le lieu du point K.

EXERCICES THÉORIQUES

569. Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième, la figure contient des dièdres alternes-internes égaux, alternes-externes égaux, correspondants égaux. La réciproque n'est pas vraie.

570. Si une droite tourne autour d'un axe qui lui est parallèle, deux positions quelconques de cette droite sont parallèles.

52g ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE.

571. Si un plan tourne autour d'un axe qui lui est parailèle, deux quelconques de ses positions se coupent suivant une droite parallèle à une droite fixe.

572. Etant donné un quadrilat6rc plan quelconque ABCD, on joint ses sommets à un point S, extérieur à son pian. Démontrer que si E et F sont les points de concours des côtés opposés du quadrilatère ABCD, tout plan parallèle k SEK rencontre SA, SB, SC, SD, en des points qui sont les sommets d'un parallélogramme.

Condition pour que ce parallélogramme soit un rectangle.

573. Lieu du milieu d'un segment compris entre les deux faces d'un dièdre, et porté par une parallèle à une droite fixe.

574. Etant données deux droites parallèles fixes Z^ et Z^, un point M reçoit par rapport à Z| une symétrie qui le place en M^; M^ reçoit par rapport à Zj une symétrie qui l'amène en Mj. Démontrer que M peut venir directement en Mg par une translation, double d'une certaine translation qui amènerait Zi sur Z«.

Hemplacer le point M par une figure quelconque, et voir si la conclusion subsiste. Chercher si M viendrait tout de même en Mj en intervertissant l'ordre des deux symétries.

575. Étant donnés deux points A^ et A^, construire une droite Z telle qu'en donnant une symétrie à Aj p-r rapport à Z. Aj vienne en A^. Le problème a une infinité de solutions; quel est le lieu des droites Z?

576. Si un plan P est parallèle à une droite D, le symétrique de P par rapport à D est un plan P, parallèle au plan E^.

577- Etant donnés deux plans parallèles, construire une droite Z telle qu'une symétrie donnée à l'un des deux plans par rapport à Z le mette en coïncidence avec l'autre. Lieu des droites Z répondant- à la question.

578. A quelle condition peut-on déplacer une droite de manière qu'elle reste à la fois parallèle à un plan fixe et perpendiculaire à une droite fixe?

579. Construire une droite qui rencontre deux droites D, et Dj, et qui soit perpendiculaire à deux autres droites A| et Ag.

580. Si une droite et un plan sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles.

581. Mener par un point donné une droite qui soit perpendiculaire à deux droites données.

582. Construire une droite qui passe par un point A, qui soit parallèle à un plan P, et qui soit perpendiculaire à une droite D.

583. Si Ton peut construire une droite A qui soit perpendiculaire à trois droites données Dj, Dj, D3, ces trois droites sont parallèles à un même plan.

584. Soit H le point de concours des hauteurs d'un triangle ABC. On mène par H une perpendiculaire HD au plan du triangle, et on fixe sur cette perpendiculaire un point quelconque D, que l'on joint aux points A, B et C. Les six droites AB, HC, CA, DC, DB, DA forment tmis groupes de deux droites, AB et CD, BC et AD, CA et DB, qui ne sont pas dans un même plan. Démontrer :

i<* Que les deux droites de chaque couple sont perpendiculaires.

si*> Que .le pied de la perpendiculaire abaissée de chacun des points

A, B, C, D, sur le plan des trois autres est le point de concours des hauteurs du triangle formé par ces trois autres ;

3» Que les quatre perpendiculaires passent par un. même point.

Construire, en outre, la droite qui coupe orthogonalement les deux droites de chaque couple.

585. Si quatre points A, B, C, D, non dans un même plan, sont tels que les droites AB et CD soient rectangulaires, ainsi que BC et AD, les droites CA et DB. sont aussi rectangulaires, et la figure est identique à celle qui fait l'objet de l'cxerciee précédent.

586. On donne une droite D, un plan P et un point dans ce plan. Mener par dans le plan P une droite qui soit perpendiculaire à D.

587. Soit OA perpendiculaire en sur un plan P, B le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur une droite quelconque BG du plan P.

Démontrer que l'angle OBC est droit.

588. On donne un plan P, un point dans ce plan, et deux points A et B extérieurs au plan. Mener dans le plan P par le point une droite sur laquelle A et B se projettent en un même point.

689. Quelle condition doivent remplir deux droites pour que l'on puisse mener par Tune d'elles un plan perpendiculaire à l'autre? Construire ce plan et déterminer le segment minimum ayant une extrémité sur chaque droite.

590. D'un point de l'espace, abaisser une perpendiculaire sur une droite d'un plan. Lieu du pied de cette perpendiculaire quand la droite tourne autour d'un de ses points de manière à rester dans le plan.

591. Soit D une droite fixe, A un point fixe, P un plan variable qui passe par D . Quel est le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point A sur le plan P ?

592. Une droite perpendiculaire au bissecteur d'un dièdre coupe les faces en A et B, le bissecteur en C. Démontrer que le point C est le milieu de AB.

593. Un plan tourne autour d'une de ses droites qui est perpendiculaire au bissecteur d'un dièdre ; il coupe l'arête du dièdre en 0, les faces suivant OA et OB, le bissecteur suivant OC. Démontrer que OC est la bissectrice de l'angle AOB.

594. Soit D une droite perpendiculaire au bissecteur d'un dièdre en un point qui se projette en sur l'arête. Si A et B sont les traces de D dans

les deux faces, et si M est un pomt variable de l'arête, l'angle AMB décroît à mesure que M s'éloigne de 0.

595. Par un point de l'arête d'un dièdre, on mène dans l'une des faces une droite quelconque OA. Mener dans l'autre face une droite OB telle que AOB soit un angle droit.

596. Une semi-droite OD coupe en l'arête d'un dièdre, et se trouve i l'intérieur de ce dièdre. Mener par 01) un plan coupant le dièdre suivant un angle AOB dont la bissectrice soit OD.

Considérer un triangle isocèle AOB, dont la base AB rencontre OD à angle droit en D; elle appartient au plan perpendiculaire à OD par le point D, lequel plan coupe en général le dièdre suivant l'angle AOB. On est ramené à construire par D une droite AB limitée dans l'angle connu ACB, et ayant son milieu en D.

597. Élant donnés deux droites quelconques D| et D^, et un plan P perpendiculaire à D|, on mène par D| un plan variable Q^, et par D^ un plan Q, perpendiculaire à Q|. Lieu du point en lequel l'intersection de ces deux plans rencontre le plan P .

598. Si deux plans sont perpendiculaires, et si une droite de l'un est perpendiculaire à une droite de l'autre, l'une au moins de ces deux droites est perpendiculaire à l'intersection des deux plans.

599. Si un plan Q est perpendiculaire à une droite D parallèle à un plan P ou contenue dans ce plan P, les deux plans P et Q sont perpendiculaires.

600. Si une droite et un plan Q sont perpendiculaires à un plan P, la droite D est parallèle au plan Q.

601. Par le sommet d'un angle quelconque, on mène une semi-droite perpendiculaire au plan de l'angle ; on obtient ainsi un dièdre birectangle. Etudier les grandeurs des faces et celles des dièdres de ce trièdre.

602. Par chaque arête d'un trièdre et la bissectrice de la face opposée, on fait passer un plan. Démontrer que les (rois plans obtenus passent par une même droite.

Employer le triangle ABC, obtenu en prenant sur les arêtes du trièdre des longueurs égales SA, SB, SC.

603. Par chaque arête d'un trièdre, on fait passer un plan perpendiculaire à la face opposée. Démontrer que les trois plans obtenus passent par une même droite.

Utiliser la figure qui a servi pour l'exercice 584.

604. Par le sommet d'un trièdre, on mène dans chaque face une droite perpendiculaire à l'arête qui n'est pas dans celte face. Les. trois droites obtenues sont dans le même plan.

Utiliser l'exercice précédent.

605. Étant donné un triangle qui n'a que des angles aigus, on mène la perpendiculaire à son plan par le point de concours des hauteurs. Déterminer sur cette perpendiculaire un point qui soit le sommet d'un trièdre Irirectanglc dont les arêtes passent par les sommets du triangle donné.

606. Appliquer l'exercice 605 à la recherche du problème suivant : Couper un trièdre trirectangle par un plan de manière que la section soit égaie à un triangle donné.

607. Dj, Dj,...D„ étant des droites parallèles, on mène par chacune d'elles un plan perpendiculaire à un plan donne. Démontrer que tous les plans obtenus sont parallèles.

608. ABCD est un carré de côté 3 a ; CE est perpendiculaire à son plan, et sa longueur est 4 a. Démontrer que par la droite DB on peut mener un plan perpendiculaire sur AE au point F, et calculer AF.

609. Soit G le centre d'un triangle équilatéral ABC de côté a, GS perpendiculaire à son plan.

i» Calculer la longueur de GS pour que l'angle ASB soit droit.

2° Par la droite qui joint les milieux de SA et de SB, on fait passer le plan perpendiculaire à ASB. Construire l'intersection de ce plan et du plan ABC.

610. Par une droite, mener un plan tel que l'un des dièdres qu'il détermine avec un plan donné soit égal à un dièdre donné.

611. Étant donné un dièdre AXYB, et un point B dans l'une des faces, mener dans cette face la droite BC, coupant XY au point C, et de manière que si B' est le pied de la perpendiculaire abaissée du point B sur le plan AXY, l'angle BCB' soit égal à un angle donné.

612. Mener par un point une semi-droite qui fasse des angles égaux avec deux semi- droites données. Lieu des semi-droites en nombre infini qui répondent à la question.

613. Soit A un point extérieur à un plan P, BC une droite quelconque du plan P, AB perpendiculaire à BC, BE menée perpendiculairement à BC dans le plan P, AE perpendiculaire à BE. Démontrer que AE est perpendiculaire au plan P.

614. Un plan P rencontre une droite D ; on lui donne une symétrie par rapport à D, et il vient en P'. Démontrer que les plans P et P' se coupent suivant une perpendiculaire à D.

615. Quel est le lieu d'une droite mobile assujettie à rencontrer une droite fixe D^, à être perpendiculaire à une autre droite fixe Dg, et à être parallèle à un plan fixe P?

616. Dans la face SAB d'un trièdre SABC, on trace une droite AB, autour de laquelle on fait tourner un plan. Ce plan coupe l'arête SC en un point variable E. Quel est le lieu du point de concours des médianes du triangle ABE?

617. Même question en fixant le point E et en faisant tourner le plan autour d'une parallèle au plan ASB par le point E.

EXERCICES THÉORiaUES

618. Si une droite fait des angles égaux avec trois droites parallèles à un plan, et dont deux quelconques ne sont pas parallèles entre elles, la droite est perpendiculaire au plan.

. 619. Soit le centre d'un carré ABCD de côté a, OS perpendiculaire au

plan ABCD. Si 0S= -r» calculer la distance du point au plan SAB. ■

620. Soit ABC un triangle équilatéral de côté a et de centre 0, S un point extérieur à son plan, et tel que les distances SA, SB, SC soient égales à

— de OA. Calculer la distance du point S au plan ABC.

621. Soit ABCDEF un hexagone régulier de côté a et de centre 0, OS perpendiculaire à son plan. On détermine le point S pour que le dièdre SABO soit de 6o<*, et on demande de calculer la distance du point S au plan ABO, et la dislance du point au plan ABS.

622. Le lieu des points également distants de deux points donnée est le plan perpendiculaire en son milieu à la droite qui joint ces deux points.

623. Soit D une droite quelconque d'un plan P. Lieu du point tel que le rapport de ses distances au plan P et à la droite D soit constamment égal à un nombre donné m.

624. Lieu des points de l'espace également distants de deux droites parallèles.

625. Lieu des points également distants de deux droites concourantes.

626. Lieu des points également distants de tous les points d'un cercle.

627. Los plans perpendiculaires aux côtés d'un triangle par leurs milieux passent par une même droite. Propriété commune à tous les points de cette droite.

Quelle condition doit remplir un polygone plan pour que ce théorème lui soit applicable?

628. Les plans perpendiculaires aux faces d'un trièdre et passant par les bissectrices de ces faces ont une droite commune, également inclinée sur les trois arêtes du trièdre. Propriété de tout point de cette droite.

629. Déterminer dans un plan donné un point également distant de deux points donnés, et également distant de deux droites données.

630. Soient A et B deux points extérieurs à un plan P. Déterminer dans ce plan le lieu des points d'où la distance ÂB est vue sous un angle droit.

631. Soit P un plan, A et B deux points extérieurs à ce plan et d'un même côté. Déterminer dans le plan le point G, tel que si M est un point quelconque du plan P, on ait

GA-hGB<MA-fMB.

632. Soit P un plan, A et B deux points extérieurs à ce plan et de côtés dififérents. Déterminer dans ce plan :

i*> Le point G, tel que si M est un point quelconque du plan P, on ait