Volume du parallélépipède rectangle
Le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit des mesures de ses trois dimensions.
Soit (fig. 3a3) ABCDA'B'CD' un parallélépipède rectangle. Mesurons ses trois arêtes avec une unité assez petite pour qu'elle soit contenue un nombre entier de fois dans chacune d'elles. Supposons, par exemple, qu'on ait : AB = 5 •-, AD = 3 «", AA = 4 "».
Divisons alors AB en 5 centimètres, et par les points de division (fig. 3a3, I) menons des parallèles à AD. De même partageons AD en 3 centimètres, et par les points de division menons des parallèles à AB. Nous partageons ainsi la base ABCD en 5 x 3 :t= 1 5 centimètres carrés. Cela étant, sur chacun de ces centimètres carrés, posons un cube de 1 centimètre de côté. Nous pavons ainsi la base de i5 cubes qui forment une couche de i centimètre de haut
SP
Fig. 323.
(fîg. 323,11). Comme le parallélépipède a 4 centimètres de hauteur, nous le remplirons au moyen de quatre couches semblables superposées. En résumé le parallélépipède contient 4 fois i5 centimètres cubes ou :
Le nombre des centimètres cubes est égal au produitdes mesures, 5,. 3, 4, des trois dimensions.
512. — Le volume d^un parallélépipède rectangle est égal au produit de Faire de sa base par sa hauteur.
La première couche qui couvre le fond du parallélépipède (fîg. 323) contient autant de centimètres cubes que la base contient de centimètres carrés. Le volume de cette couche s'exprime donc par le même nombre que l'aire de la base, soit i5. Le volume total s'obtient en multipliant le précédent par la hauteur 4. Ce volume est donc : 1 5 X 4 = aire de la base X hauteur.
513. — Remarque importante. — Les énoncés précédents et ceux qui suivent supposent essentiellement que Ton a pris des unités correspondantes.
Ainsi, si l'unité de longueur est le décimètre, Tunité d'aire sera le décimètre carré et celle de volume sera le décimètre cube.
514. — Volume du parallélépipède droit. — Le volume d'un parallélépipède droit est égal an produit de sa base par sa hauteur.
Soit ABCDA'B'CD' (fig. 3a4) un parallélépipède droit, dans lequel la base ABCD est un parallélogramme quelconque, et les arêtes laté-
Fig. 324.
raies AA', BB', etc., sont perpendiculaires au plan de la base.
Par BB', menons le plan de section droite BB'E'E perpendiculaire à AB. Ce plan partage le parallélépipède en deux parties,
ABEDA'B'E'D' et BCEB'C'E'. Faisons subir à la seconde, BCEB'C'E', une translation de glissière AB; elle viendra se placer en ADFA'D'F', de façon à former avec la première un parallélépipède rectangle ABEFA'B'E'F', évidemment équivalent au parallélépipède donné. Le volume V est alors :
V=:AB X BExBB'.
Or, BE étant la hauteur du parallélogramme ABCD, AB X BE est Taire de la base, et BB' est la hauteur. Donc : V = aire de la base x hauteur.
515. — Théorème. — Un prisme oblique est équivalent au prisme droit ayant pour base sa section droite et ayant même longueur d'arêtes latérales.
Soit ABCDEA'B'C'D'E' (fig. SaS) un prisme oblique et alh'c'd'e' sa section droite. Cette section partage le prisme en deux portions Vj et Vg. Faisons subir à la portion V,, a'6VdVA'B'C'D'E', une translation de glissière A'A. La face A'B'C'D'E' viendra coïncider avec ABCDE,etle volume V, viendra en V, de façon à former avec V| un prisme droit ahcdea'b'c'd'e' évi- £'
demment équivalent au prisme donné et de même longueur d'arête ; car a! a = A'A, comme décrits dans la même translation.
