Théorème. — Dans

r * 7 une translation recUligne tous

les points de la tigure mobile décrivent des segments rectilignes égaux, parallèles et de même sens.

Fig. 45.

.Soient A et B (fîg. 45) deux points de la figure mobile, A' et B' les homologues après la translation. Les deux

Fig. 4i bts,

segments AB et A'B' se déduisant l'un de l'autre par translation sont égaux, parallèles / . et de mène sens.

g ' ï) .1 oignons A A' e t B B '

I* AA' et BB' sont parallèles, car ce sont les trajectoires des points A et B (n'* 57).

2" AA' et BB' sont égaux et de même sens. En effet, comme AA' et BB' sont parallèles, on peut amener la droite indéfinie AA' à coïncider avec la droite indéfinie BB' par une translation de glissière AB qui amène A en B. Dans ce mouvement A' (n* 57) décrit la parallèle A'B' à AB; par conséquent, le point A' reste sur A'B', et comme il vient se placer sur BB', il tombe nécessairement en B' intersection de A'B' et BB'. Les deux segments AA et BB' décrits par deux points A et B sont donc parallèles, égaux et de même sens, puisqu'ils coïncident par translation.

Remarque — Le quadrilatère ABB'A' (fîg. 45) dont

les côtés opposés sont parallèles est ce qu'on appelle un parallélogramme,

W. — Exercice. — Soit ABC (fk. 46) an triangle ; par le milieu D de AB, menons la parallèle DE à BC qui coupe AG en E, et la parallèle DF à AC qui coupe BC en F. Joignons EF. f{

•Les trois tiiangles AEU, DFB et ECF sont égaux.

I* Faisons subir au triangle AED une translation de glissière AD qui amène A en D, D viendra en B puisque AD=DB. D'ailleurs AE viendra coïncider avec sa parallèle DF, et DE avec sa parallèle BF. Le triangle . AED est donc venu coïncider avec DFB. On en conclut que les deux segments DF et A£, qui coïncident l^iirtraftslation, F»8. 46.

sont égaux, parallèles et de même sens.

^' Faisons subir au triangle AED une translation de glissière AE qui amène A en E, le point D décrira le segment DF parallèle et égal à AE et de même sens. D viendra donc en F, et comme A est venu en E, AD est venu coïncider avec EF. De plus, DE viendra coïncider avec sa parallèle FC. Le triangle AED est alors venu coïncider avec ECF.

Oq en conclut que :

Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et est égale à sa moitié. Car, à cause des égalités des trois triangles :

AE = EC et CF = FB.

E est le milieu de AC, F est le milieu de BC. De plus, on a :

ED = CF = FB = — a

§ 3. — Mesure des an^^les. — Rotation autour d'un point. — Symétrie par rapport à. un point.

64. — Angles égaux. — Deux angles sont dits égaux lorsqu*on peut transporter Tun de façon aie faire coïncider avec l'autre, de telle sorte que les deux côtés du premier angle coïncident avec les deux côtés du second.

Par exemple, les deux angles AOB 'et .A'O'B' (fig. 47) soïit égaux

BOORLIT. — ÉLflIIKTS At GÉOM. 5

SI ron peut transporter A'O'B' sur AOB de façon que O'A' coïncide avec OA et O'B' avec OB.

Fig. 47- — Angles épaux.