Définition. — Étant données deux drôitesD et

lES ANGLES. 63

D' et. une sécante A qui les rencontre en A et B, celte s6cante forme avec ces^ deux droites, autour de A et B, huit angles (fig. 87).

Les quatre angles i, a, 7, 8 que D et D' forment avec la portion AB de

A comprise Fig. «7.

entre ces

deux droites sont dits internas. Les quatre angles 3, 4, 5» 6 que D et D' forment avec les parties extérieures de A sont dits externes.

Deux angles sont dits alternes s'ils sont Tun de sommet A, l'autre de sommet B et s'ils sont de part et d'autre de A.

D'après cela, i et 7, ainsi que 2 et 8 sont alternes intomes ; 5 et 3, ainsi que 4 et 6, sont alternes externes.

Deux angles situés d'un même côté de la sécante, l'un interne, l'autre externe, et non adjacents, sont dits correspondants. Ainsi : 1 et 5, 4 et 8, 3 et 7, a et 6 sont correspondants,

444^ Théorème. — Lorsque deux droites parallèles sont

coupées par une sécante :

les angles correspondants les angles alternes internes les angles alternes externes

sont égaux.

C'est un cas particulier du théorème du n* 113. Soient

D et D' deux droites parallèles coupées par la sécante AB (fîg. 88). Par une translation de glissière AB, qui amène

A en B, D vient coïncider avec D' et les angles correspondants coïncident.

Par une rotation de iSo» autour du milieu O de AB, les angles alternes internes et externes coïncident.

""'^ " 115. -Corollaire. —

Lorsque deux droites soBt parallèles y toute droite perpendiculaire à Vune est perpendiculaire à Vautre.

C'est le cas particulier du théorème précédent où Tun des angles considéré est droit (fig. 89). Tous les autres sont alors également droits.

""'^ ^^ 116. — Réciproque.

- Lorsque deux droites, coupées par une sécante, sont telles que

les angles correspondants ^

ou les angles alternes internes [ sont égaux,

ou les angles alternes externes ) les deux droites sont parallèles.

Soient en effet D et D' deux droites {fig, 88), coupées par

la sécante A en A et B. Supposons, par exemple, les angles correspondants 4 et 8 égaux. Si par B on mène la parallèle à D, elle forme avec A du même côté que la semidroite AD un angle égal à 8, d'après le théorème direct (n°114), par suite un angle égal à 4. Cette parallèle coïncide donc avec D', car il n'y a qu'une demi-droite issue do B faisant, d'un certain côté, un angle donné avec A. .

117. — Corollaire.— Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles.

C'est le cas particulier de la réciproque précédente où les deux angles égaux sont droits.

118. — Théorème. — La somme des angles d'un triangle est égale à deux droits (ou 180^).

Fig. 91. — Somme des angles d'un triangle.

Soit un triangle ABC (fig. 91). Prolongeons le côté AB

suivant AD et par A menons la semi-droite AE parallèle à

BC et de même sens que BC.

/\ y^ Les angles CBA et EAD sont égaux comme correspon-

dants. Les angles BCA et CAE sont égaux comme alternes

internes.

La somme des angles du triangle est donc égale à la /x y\ /\ somme des trois angles DAE, EAC, CAB formés autour de

A d'un môme côté de BD, elle est donc égale (n** 102) à deux

droits (ou iSo^).

BovRLET. — Éléments de GfloM. •*»

or» ELKMKNTS DE GEOMETRIE.

119. - Corollaire I. — Dans un triangle, il ne peut y avoir plus <ïun angle droit on obtus.

Car s'il y avait deux angles droits ou obtus, leur somme serait égale ou supérieure à i8o«, cequi nest pas possible, puisque cette somme est égale à iSo» diminuée du troisième angle.

120. - Corollaire II. — Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Car la somme des trois angles étant égale à deux droits (i8o«j et l'un des angles étant droit, la somme des deux autres vaut un droit (9o«). Ils sont donc complémentaires (n« 70).

121. — Corollaire III. — Si dans un triangle les trois angles sont égaux, chacun d'eux vaut 6(P.

Car chacun d'eux vaut — ^ = 6o".

122. — Définition. — On appelle angle extérieur d'un triangle, Vangle formé par un côté et le prolongement d'un autre.

Ainsi dans le triangle ABC (fig. 91) l'angle CAD, formé par AC et le prolongement AD de AB,est un angle extérieur.

123. — Théorème. — Dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux angles du triangle non adjacents.

Ce théorème est au fond identique à celui du n** 118. La

/^ démonstration est la môme. L'angle CAD (fig. 91) est égal

/\ /'\ à la somme des angles DAE et EAC, respectivement égaux

aux angles ABC et BCA.

Comme conséquence on en conclut que : L'angle extérieur au sommet d'un triangle isocèle est le double des angles à la base.