Théorème
— La somme des angles extérieurs d'nn polygone convexe, obtenus en prolongeant successivement ses côtés dans le même sens, est égale à quatre droits.
Soit, en effet, le polygone ABCDE (fig. 93).
Imaginons qu'un point le parcoure dans un
certain sens, et prolongeons successivement tous les côtés dans ce sens.
Fig. 93. — Somme des angles extérieurs d'un polygone convexe.
Les angles extérieurs ainsi obtenus, 1,2, 3,4, 5, ont pour somme quatre droits ou 36oo. Car, si par un point quelconque on mène des semi-droites parallèles aux divers côtés et de même sens, on forme des angles i',a',3',4',5' respectivement égaux aux précédents et dont la somme est bien quatre droits, puisque ce sont des angles consécutifs formés par des semi-droites issues de O (n" 103).
127. — Corollaire. — La somme des angles d*un polygone convexe est égale à autant de fois deux droits que le polygone a de sommetSj moins quatre droits.
En effet, considérons, en chaque sommet (fig. 93), Fangle
du polygone, BAE par exemple,et l'angle extérieur adjacent,
BAA'. Leur somme est égale à deux droits.
La somme totale des angles intérieurs et extérieurs est donc égale à autant de fois deux droits qu'il y a de sommets. Comme la somme des angles extérieurs est (n° 126) égale à quatre droits, on en conclut l'énoncé ci-dessus.
EXERCICES PRATiaUES
1. Tracer une droite de 6S millimètres; la diviser en 4 parties égales à l'aide du décimètre; voir ensuite si les 4 divisions sont bien égales, en prenant l'une d'elles au compas à pointes, et en la reportant sur les autres.
2. Tracer une droite indéfinie XY et marquer sur cette droite un point quelconque A. Prendre au compas à pointes une longueur de i5 millimètres, puis, posant une pointe en A, porter bout à bout sur XY 10 longueurs égales à i5, en faisant culbuter le compas alternativement autour de SCS deux pointes, pour qu'il ne quitte pas le papier. Voir si la longueur totale obtenue a i5o millimètres.
Reprendre le même exercice en prenant des longueurs de plus en plus petites et les portant bout à bout un nombre de fois de plus en plus grand.
3. Construire un quadrilatère convexe A B G D dont l'angle A est droit ; A B = 3o ; A D = 40 ; la diagonale A G a son milieu au point I où elle rencontre DB, et BI = 2/5 de DB. Donner à la figure la translation AC, qui l'amôno on AjB, CjDi ; amener A,B,C,D| en AaBgCjDa par la transla-
lion ID. YériUor que A|B| et k^]i^ sont parallèles ù AB^ B^Cj el B^C, parallèles à BC, etc.; que A As, BBg, CC^, DD, sont parallèles et égales.
4. Construire un triangle quelconque ABC ; marquer au décimètre, puis vérifier au compas à pointes, les milieux A' deBC, B'ile CA, C deAB. Vérifier que AB est parallèle à A'B' et double de A'B'; que A A' passe au milieu de B'C; et de même pour les deux autres côtés. Mener par chaque sommet de ABC une parallèle au côté opposé, pour avoir un triangle abc; vérifier que A' est le milieu de Aa, B' le milieu de Bb, C le milieu de Ce. Marquer les milieux des côtés des triangles BCa, CAfr, ABc, et voir les alignements que présente la figure.
5. Construire un quadrilatère quelconque ABCD, convexe ou non; prendre au décimètre, puis vérifier au compas à pointes sèches, les milieux E, F, G, H, I, K, deAB, BC, CD, D A, A C, D B. Yérifier^que les 3 droites de chacun des groupes suivants. :
AB,HK,IF; CD, IH, FK ; AD,IG,EK; BC, KG, El ; AC,EF,HG; DB, GF, HE sont parallèles, et que la première est égale au double de chacune des deux autres.
6. Construire un triangle quelconque ABC; joindre par une droite indéfinie le point A au milieu D de BC ; dessiner les positions successives que prend le triangle si on lui donne successivement cinq translations égales à la moitié de AD.
7. Construire un cercle 0, de 36 de rayon, et tracer en direction et en position quelconques un segment A B, de 54 de longueur ; donner à 1 2 points quelconques du cercle une translation égale à A B. Vérifier que les 12 points, dans leur nouvelle position, sont sur un cercle égal à 0, dont le centre 0| est la position que prend si on lui donne aussi la translation AB.
8. Construire un cercle de 20 de rayon; tracer par son centre une droite indéfinie XY; figurer les positions que prend le cercle si on lui donne successivement cinq translations égales à la moitié d'un rayon, le centre décrivant un segment porté par XY.
9. Construire un triangle quelconque A B C ; joindre chaque sommet au milieu du côté opposé, pour avoir les médianes kï), BE, CF; constater qu'elles passent par un même point, situé sur chacune d'elles au 2/5 de sa longueur à partir du sommet. Dessiner les positions AjBjCi, AjB^Cjquc prend le triangle s'il reçoit successivement les translations AD et BE, et entraîner les médianes dans ces translations. Yérificr qu'une troisième translation égale à CF ramène le triangle dans sa position initiale.
10. Construire un cercle de 20 de rayon et de centre A ; d'un \mni B de ce cercle, avec le même rayon, décrire un second cercle, qui coupe le précédent en deux points. Soit C l'un de ces points; du centre G, avec le même rayon, décrire un troisième cercle, qui passe par A, par B, et coupe une seconde fois le cercle A en A^. Donnera l'ensemble de ces trois cercles la translation AA|.
11*. Mêmes données qife dans l'exercice précédent, en prenant Ih translation égale à A C.
12. Mêmes données que dans l'exercice précédent, en déplaçant la figure par 2 translations succcssiTes, égales l'une à AAj, l'autre à AC.
EXERCICES THÉORiaUES
13. Une figure F, occupant d'abord dans son plan la position l\. reçoit une première translation qui l'amène en F^; une seconde translation lui donne la position Fj; une troisième translation la fait passer en F4, et ainsi de suile. Soit F« la 'position finale de F. Démontrer que F peut passer de Fj à (h par une seule translation.
U!iliscr le postulai.
14. Si une droite Dj se déduit «l'une autre droite D, par une translation qui amène le point Aj, pris sur D|, à coïncider avec un point A^ de
• la droite D^, démontrer que D^ se déduit aussi de D| par une translalion dont une glissière est la droite Bj B^ qui joint un point quelconque Bi, pris sur D4, à un point quelconque B^, pris sur D^. Considérer les translations successives B^ A,, A^ Ag, A^ B^.
15. La base d'un triangle glisse sur une droite donnée. Quelle est la trajectoire du Iroisième sommet?
16. Si l'origine A d'un segment rectiligne se déplace sur une dix»itc a, pendant que l'exlrémité B se déplace sur une droite p parallèle à a, le déplacement du segment A B e^t une translation.
17. Un triangle A BC se déplace de façon que les sommets B et C décrivent deux droites parallèles. Quelle est la trajectoire du sommet A?
18. Etant données deux droites parallèles Dj et D^^ et deux autres droites XY et D3 qui les rencontrent, construire un triangle équilatèral ayant un sommet sur cliacune des droites Df, D^, 1)3, de manière que le coté compris entre D| et Dj soit parallèle à XY.
19. Démontrer qu'un quadrilatère qui a deux côtés égaux et parallèles est un parallélogramme.
20. Démontrer que la droite qni joint les milieux de deux cotés op(K)sés d'un parallélogramme est parallèle aux deux autres côtés.
21. Si des parallèles en nombre quelconque interceptent sur une droite des segments égaux, ils mterceptent aussi des segments égaux sur toute autre droite qui les rencontre.
22. Mener par les sommets d'un triangle donné ABC trois droites parallèles qui interceptent sur une droite quelconque deux segments égaux.
Utiliser l'exercice 21.
23. Étartt données deux droites concourantes OX. OY, et une troisième droite D qui les rencontre toutes les deux, construire un segment de longueur donnée /, parallèle à D, et ayant une extrémité sur OX, l'autre sur OY.
24. On donne quatre droites quelconques Dj. D^, D3, D^; construire un
parallélogramme ayant un sommet A donné sur D|, un scimniel B donné sur D^, el les deux autres sommets respectivement sur D5 et sur î)^.
25. Elant donnes un cercle quelconque C, une droite X Y, et une droite D qui rencontre XY, construire un segment de longueur donnée /, qui soit parallèle à D, et qui ait une extrémité sur XY, l'autre sur le cercle C.
26. Par tous les |)oints d'un cercle, on mène des parallèles à une droite quelconque; sur ces parallèles on porte des longueurs égales et dirigées dans le même sens. Trouver une ligne sur laquelle soient placées les exi rémités de ces longueurs.
27. Etant donnés deux cercles C| et C^ et une droite D, construire un segment de longueur donnée /, qui soit parallèle à !), et qui ait une
extrémité sur le cercle Cj, l'autre sur le cercle C*.
28. Par un point A, mener une sécante telle que le segment compris sur cette sécanle entre deux droites parallèles soit égal à une longueur donnée.
29. Un parallélo^^ramme ABCD est arliculé on ses quatre sommets; on fixe le côté AB, et on déforme alors le parallélogramme. Déterminer la trajectoire d'un point quelconque de CI).
EXERCICES PRATiaUES
30. Calculer en grades les mesures des angles suivants donnés en degrés: i350; 60" 1 5'; i80 36'2'/' : i-jo"; ^'i^W^H".
31. Calculer en degrés^ futmitex el secondes les mesures des angles suivants donnés en grjides : 3oc ; 8uc,j5 ; ii5u,8487 ; locjOgi.
32. Marquer sur une droite 11 points équidislants de 8 millimètres, à l'aide du compas à [)ointes (Exercice 2); tracer par tous ces points des perpendiculaires à la droite, «outre laquelle on applique une règle, l'équerre glissant sur la règle. CoujMîr les 1 1 parallèles par une sécante qui lassiî avec l'une d'elles uu angle de 33®, et voir si les 10 segments obtenus sont égaux. (La somme de leurs longueurs doit être égale à go""", 4.)
33. Construire un triangle ABC, ayant A B = 3o, A C =r 5o, angle A = 1 20", et lui donner deux rotations successives de 120® chacune, et dans le même sens, autour du point A.
34. Mêmes données que dans l'exercice précétlenl, le triangle recevant cinq rotations successives de 60*^ chacune autour de A.
35. Construire un triangle ABC ayant AB=:3o, AC=:5o, angle A=r: 108®, et lui donner 4 rotations successives de 144® chacune, et dans le même sens, autour de A.
36. Construire un triangle quelconque ABC; faire tourner ce triangle dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre : i" autour de A et
bÎc
d'un angle égal à BAC pour l'amener en ABjCj,' 2" autour de Bj et d'un angle égal à CjB|A, pour l'amener en A^BjC^; 3« autour de Cj, et d'un
n ELEMENTS DE GEOMETUIE.
angle égal à yj^Ç^Aj pour l'amener en AjEjC^. Comparer les direclions d'un même côté dans la position initiale et dans la position finale.
37. Construire un triangle équilatéral ABC, de 49 de côté; décrire de chaque sommet comme centre un arc joignant les deux autres sommets ; suivant les notations de l'exercice précédent, donner au triangle curviligne ABC successivement trois rotations de 60^ et de même sens autour de A, B„ Ca.
On obtient deux résultats différents, selon le sens dans lequel on tournerait autour d'un point intérieur au triangle pour rencontrer successivement les lettres A, B et C dans l'ordre alphabétique.
38. Construire un cercle 0, de 60 de rayon; tracer deux diamètres perpendiculaires A A' et BB'; du centre A, avec le rayon AO, «lécrirc l'arc OC, terminé en C sur le quadrant A B, et marquer du même coup de compas le point D sur le quadrant AB'. Du centre C, avec le rayon CO, décrire un arc OE, terminé en E sur le quadrant BA'. Du centre D, avec le rayon DC, décrire un arc CFA', limité en F à son intersection avec l'arc OE. Donner au contour curviligne OC F onze rotations successives, de 3o® chacune, et représenter les douze positions en supposant que le contour limite une feuille opaque, chaque position recouvrant la suivante, la dernière recouvrant la première.
EXERCICES THÉORiaUES
39. Deux droites parallèles XX' et Y Y' sont symétriques par rapport à un point 0: on trace deux droites quelconques AOB, A' OB' rencontrant XX' en AetA', el Y Y' en B et B'. Démontrer que les droites AB' et A'B sunt égales et parallèles.
40. On prolonge les côtés B A et CA d'un triangle ABC, de longueurs AB' = AB et AC'=:AC, puis on joint B'C. Démontrer ; i^que B'C'^^BC; 20 que la droite MM' joignant les milieux de BC et de B'C' passe par A; 3° que AM=:AM'.
41. Démontrer que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
42. Démontrer que le parallélogramme est le seul quadrilatère dont les <liagonales se coupent en leur milieu.
43. Les bissectrices de deux angles opposés par le sommet sont en prolongement Tune de l'autre.
44. Si deux angles ont leurs cùîès parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun, leurs bissectrices sont, ou parallèles, ou }>erpendiculaires.
45. Si par deux points A et B, diamétralement opposés sur un cercle, an mène deux cordes parallèles, AC et BD, ces cordes sont égales et la droite CD est un diamètre du cercle.
46. On joint un point P à un point M variable sur le cercle C et on prend le symétrique M' de M par rapport à P. Quelle est la trajectoire de M'?
Se servir tle celte trajectoire pour tracer par le point P une droite coupant deux cercles C et C en des points A et A' tels que : PA z=. VA'.
47. Si on joint les milieux des côtés d'un triangle deux à deux, on partage le triangle en quatre triangles égaux,
48. Les droites menées par les trois sommets d'un triangle parallèlement aux côtes opposés forment un triangle quadruple du premier.
49. Construire un triangle connaissant les milieux des trois côtés.
50. On donne un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle. Montrer d'abord que ce triangle coïncide avec lui-même après une rotation de 120® autour du centre du cercle. On prend sur AB un point D entre A et B, et sur BC un point F tel que AD^nBF. On mène les droites AF et CD
qui se coupent en G. Démontrer que l'angle FGC est égal à l'un des angles du triangle ABC.
51. On donne un carré ABC D; on porte sur AB, BC, CD, DA des longueurs égales AA', BB', CC, Db\ Démontrer que la ligure A' B' C D' est un carré.
52. Démontrer que les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque sont les sommets d'un parallélogramme.
A quelles conditions doit satisfaire le quadrilatère pour que ce parallêlogrannue soit : i" un losange; a" un rectangle; 3"* un carré?
53. Construire un pentagone connaissant les milieux des cinq côtés.
54. Etant donné un triangle ABC, par le sommet A on élève des pi'rpeudiculaires aux côtés AB et AC ; sur ces perpendiculaires, on porte des
longueurs AE = AB et AF := AC, et de manière que les angles BAC et
FAE soient d'espèce différente. Démontrer que les droites BF et CE sont égales et perpendiculaires l'une sur l'autre.
EIŒRCICES PRATIQUES
55. Sur une droite indéfinie 0.r, marquer un point : placer le centre du rapporteur sur le point 0, le rayon-origine suivant Ox (le rayon-origine va du centre au point marqué zero^ -d'un côté ou de l'autre) ; marquer en Ij la division i5**, tracer OIi ; remettre le rayon-origine suivant 0I|,
pour construire de nouveau un angle I^ l^ de i5^. Voir si la somme de 6 angles consécutifs obtenus ainsi est égale aux 90® du rapporteur et à l'angle droit de l'équerre.
56. Construire un angle de i34^; mener sa bissectrice à l'aide du rapporteur et vérifier la figure, en trayant du sommet comme centre avec 80 de rayon un arc qui coupe les deux côtés de l'angle et la bissectrice, puis s'assurant que les deux portions de l'arc sont égales. Essay(;r la
vérificalion avec un arc de 5 de rayon ; voir pourquoi le grand rayon précédent doit être préféré.
57. Construire un angle de 5;** 3o' et mener sa bissectrice, le tout à l'aide du rapporteur, en appréciant à vue les fractions de degré que le rap|)orteur ne donne pas. Voir si la construction est exacte, en décrivant du sommet comme centre un arc de grand rayon, qui coupe les deux côtés de l'angle et la bissectrice.
, 58. Construire un triangle ABC, dans lequel AB = 8(», AC = 55, angle A= 57**. Mesurer les angles B et C, en évaluant à peu près les fractions de degré que le rapporteur ne donne pas, et voir si la somme des trois angles A, B, C est égale à 180®. Recommencer l<j même exercice avec les données suivantes.
AB=i2 ; AC=:7 ; angleA = .»oO ABm2 ; AC = 7 ; angle A = 5»
AB =: 12 ; AC = 7 ; angle A = 172** AB=i2 ; AC= 80 ; anglcAi=5oO AB = 1 2 ; AC = 80 ; angle A = :')»
AB=: 12 ; AC = 80 ; angle A = 1 72»
59. Construire arbitrairement deux droites indéfinies qui se cotipcitt. et vérilier au moyen du rapporteur que les angles opposés par le sommet sont égaux et que deux angles adjacents sont supplémentaires.
60. Construire un triangle quelconque A B G ; mesurer ses angles au moyen du rapporteur; vérifier que chaque angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs. Reprendre cet exercice plusieurs fois, en variant sensiblement les dimensions et les angles du triangle considéré.
Construire au rapporteur la hissecli'ice d'un angle compris entre deux côtés inégaux, et s'assurer i\\\elle ne passe pna par le milieu du côté Opposé.
61. Construire un triaugle isocèle ABCi, d'ailleurs quelconque, dans lequel AB = AC; tracer à l'aide «lu rapporteur les bissectrices des angles intérieur et extérieur en A ; vérilier que la première passe par le milieu de BC, qu'elle est perpendiculaire à BC, et que la seconde est parallèle à BC.
62. Construire arbitrairement deux droites parallèles coupées par une sécante, mesurer les 8 angles que présente la figure, et comparer leurs valeurs,
63. Construire un polygone convexe de cinq côtés, mesurer ses angles intérieurs et ses angles extérieurs; vérifier que ses angles intérieurs ont une somme égale à 54o®, et que la somme des angles extérieurs vaut !î6o<*.
64. Construire un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont 80 et 39; le triangle sera exact si l'hypoténuse a 89. Mesurer les angles aigus et vérifier qu'ils sont complémentaires.
Soit A le sommet de l'angle droit, BC l'hypoténuse. Au moyen de l'équerre, tracer AD perpendiculaire à BC, et vérifier l'égalité des angles
BAD et ACD, CAD et ABD.
EXERCICES THÉORIQUES
65. Quel est le polygone dans lequel la somme des angles est égale à 12 angles droits?
66. Dans un triangle ABC, dans lequel on suppose l'angle B supérieur à l'angle C, l'angle de la bissectrice et de Ja hauteur issues du sommet A est
égal a ■ .
67. L'angle des bissectrices intérieures des angles B et C d'un triangle ABC est égal à la moitié de l'angle A augmentée d'un angle droit. L'angle des bissectrices extérieures des mêmes angles est égal au complément de la moitié de l'angle A.
68. La différence des angles qu'une bissectrice intérieure forme avec le côté oppose d'un triangle est égale à la différence des angles à la base de ce triangle.
69. Les bissectrices des angles formés en prolongeant jusqu'à leur rencontre les côtés opposés d'un quadrilatère convexe se coupent sous un angle égal à la demi-somme de deux angles opposés du quadrilatère.
70. Un rayon lumineux SI tombe en I sur une droite (miroir) MN, se réfléchit pour arriver suivant 1 1' sur une seconde droite M'N, où il se niflôchit encore suivant la direction TS'. Sachant que le rayon réfléchi lait avec la perpendiculaire à la droite (miroir) un angle (angle de réflexion) égal à l'angle (angle d'incidence) du rayon direct avec la même per| endiculaire, montrer que l'angle des rayons SI et l'S' est double de l'angle des droites MN et M'N. ^Principe de l'inslrumoiit appelé sextant.)
CHAPITHE II LES FIGURES ÉLÉMEiNTAlRES
§ f . — Symétrie par rapport à une droite.
128. — Définition. — Une droite indéfinie partage un plan en deux parties que nous appellerons deux semi-plans.
On peut imaginer que Ton fasse tourner Tun de ces semi-plans autour de la droite comme une page d'un livre ou d'un carnet.
Soit F ffig. 94) une figure plane, et D une droite. Faisons . tourner le semi-plan qui contient F, autour de D comme charnière, jusqu'à ce qu'il vienne coïncider avec Vautre semi-plan. La figure F vient alors occuper une position F' dite symétrique de F par rapport à D.
La droite D est appelée axe de symé- n trie.
Par exemple , si l'on plie une " feuille de papier
en deux, si sur Tune des moitiés on dessine à
Fi},'. 9i. — Figures symétriques par rapport à une droite. ^ encre une llgm*e
et quon la r.i-
... , , . '^'"^^^e sur Tautre
moitié avant (jue le dessin ne soit sec, ce dessin s'imprimera sur la
seconde moitié et nous obtiendrons deux figures symétriques par
rapport au pli de la feuille.
