Points symétriques. — Théorème. —Lorsque
deux points sont sy- ^ I métriques par rap-
port à une droite^ cette droite est perpendiculaire au mi- . lieu de celle qui joint ^ - les deux points.
oT
Soient A et A'
(fig. 96) deuxpomts
hig. 96. — Pomls symélri(iues par rapport à une .. .
droite. symétriques par rap-
port à la droite D, et O le point d'intersection de AA' avec D. Lorsqu'on rabat le semi-plan supérieur autour de D sur le semi-plan inférieur, O ne bouge pas et A vient en A'. Les deux angles
SYMKTKfE PAM «APPORT A l'NK DROITE. 70
bOA et DCA' coïncident, ils sont donc égaux; d'ailleurs,
comme OA et OA' sont en prolongement, ces angles sont
aussi supplémentaires. Ils sont donc droits. De plus OA,
pouvant coïncider avec OA', lui est égale ; par suite O
est le milieu de AA'.
Réciproquement, si la droite D est perpendiculaire au milieu de A A', les points A et A' sontsymétHques parrajrporl dD.
Cela se vérifie sans peine.
132. — Théorème. — Par un point on peut mener une perpendiculaire à une droite et on n^en peut mener qu'une.
Soit une droite D et un point A.
i" Supposons d'abord le point A en dehors de D (fig. 96). Il suffit alors de joindre A au symétrique A' par rapport h D pour avoir la perpendiculaire cherchée AA'.
2" Si le point A est sur la droite (fig. 97), menons d'abord une perpendiculaire quelconque BB' à D, en joi-
•■•e- 91' ~ Perpendiculaire à une droite.
gnant deux points B et B' symétriques par rapport à D. La parallèle menée par A à BB' est bien perpendiculaire à D in» 115).
Il n'y en a d'ailleurs qu'une, car (n" 117) deux droites perpendiculaires à une troisième étant parallèles, si elles ont un point commun A elles coïncident (n* 49).
Rbmabque. — Le point C, pied de la perpendiculaire abaissée de B sur AD, est ce qu'on appciHe la projection
ELEMENTS DE GEOMETKIE.
de B sur AD, et la perpendiculaire BC prend le nom de projetante du point B.
133. — Droites symétriques. — Théorème. — Lorsque deux droites sont symétriques par rapport à une troisième, cet axe de symétrie est la bissectrice de leur angle.
Soit D l'axe de symétrie (fîg. 98) et OA une droite qui
le coupe en 0.
Si on fait tourner le plan autour de D, le point O ne bouge pas, la droite OA vient en la symétrique OA' et les angles
DOA et DOA'
Fig. 98. — Axe de symétrie d'un système de deux droites.
sont manifestement égaux, puisqu'ils coïncident par rotation autour de D. L'axe D
est donc bien la bissectrice de Tangle AOA'.
Remarque. — Une droite parallèle à Taxe de symétrie (c'est-à-dire qui ne le rencontre pas) a évidemment pour symétrique une autre parallèle à Taxe.
134. — Définitions. — Dans un triangle on appelle hauteur la perpendiculaire abaissée d'un sommet sur le côté opposé. Ce côté se nomme alors base.
Dans le triangle isocèle on réserve ordinairement le nom de base à celui des trois côtés qui n'est pas égal aux deux autres.
On appelle mérfiaDe d'un triangle une droite joignant un sommet au milieu du côté opposé.
