Cercles incrlts et exlnscxits à un triangle
Un cercle est dit inscrit ou exinscrit à un triangle lorsqu'il est tangent aux trois côtés de ce triangle.
Il est inscmt lorsqu'il est à Vintérieur du triangle (fig. i58).
11 est eadnscrit lorsqu'il est à l'extérieur du triangle.
220. — Construction. — Construire les cercles inscrits et exinscrits à un triangle.
Soit ABC un triangle et O le centre du cercle inscrit (fig. i58), tangent aux côtés BC, AC et AB en D, E et F. Les segments de droite OD, OE, OF sont donc égaux comme rayons d'un même cercle et, comme ils sont perpendiculaires aux côtés, on en conclut que : le poini est à égale distance des trois côtés.
Donc : OE = OD, le point est à égale distance de AC et BC ; il est donc sur la bissectrice de l'angle BAÏ:: ; de
môme OF = OD, le point O est à égale distance de BA
et BC, il est donc sur la bissectrice de l'angle CBA.
Le centre du cercle est donc le point d'intersection des bissectrices des angles B et C du triangle.
Fig. i58. — Cercles inscrit et exinscrits à un triangle.
Il est d'ailleurs également sur la bissectrice de l'angle A, puisque OE==OF.
Les trois bissectrices intérieures d'un triangle concourent donc en un même point qui est le centre du cercle inscrit.
Si l'on prend le centre 0' d'un cercle exinscrit, on voit aisément qu'il est situé sur une bissectrice intérieure et deux bissectrices extérieures du triangle.
LES PâKALLËLOGRAMMES.
La bissectrice intérieure d'un angle d'un triangle et les deux bissectrices extérieures des antres angles concourent en un même point qui est le centre d'un cercle exinscrit.
Il y a ainsi trois cercles exinscrits (fîg. i58), de centres 0', 0" et 0'".
221. — Remarque. — Un problème dans lequel il faut construire un cercle tangent à une droite, n'est complètement résolu que si on construit en outre le point de contact du cercle et de la droite.
C'est ce qui a été fait dans la figure i58, où l'on a abaissé de chaque centre des perpendiculaires sur les trois côtés du triangle.
g 5. — Lies parallélof^ramnies.
