B'C' = BC , B'A'==BA

Portons le triangle A'B'C sur le triangle ABC de façon que A'B' coïncide avec son égal AB, A' étant en A, B' en B, et C du même côté de AB que C. A cause de l'égalité des angles C'A'B' et CAB, qui sont droits, A'C prendra la direction AC. Quant à B'C elle devient une oblique issue de B, égale à BC; elle s'écarte donc également du pied de la perpendiculaire A que BC(n"i52). On a donc A'C' = AC et le point C tombe en C.

Les deux triangles coïncident.

216. — Corollaire. — Il n'y a qu'un triangle rectangle ayant une hypoténuse et un côté de Vangle droit donnés,

217. — Construction. — Construire un triangle rectangle connaissant Vhypoténuse et un côté de Vangle droit.

Soient a l'hypoténuse et b le côté de l'angle droit

(fig. i56). Traçons d'abord un angle droit x\y. Sur Ay

prenons une longueur AC = 6. De C comme centre, avec a comme rayon, décrivons un arc de cercle qui coupe kx en B. Le triangle cherché est ABC.

Kig. i56. — ConstracMon d'un triangle rectangle.

Pour que la construction soit possible il faut que le cercle coupe la droite Xx. 11 faut donc que (n® 163) la distance CA =b du centre C du cercle à la droite soit plus petite que le rayon CB m a :

C'était à prévoir, car Thypoténuse a doit être plus grande que le côté b de Tangle droit.

218. — Théorème. — Les bissectrices d'un angle sont le lieu géométrique des points équidistants des côtés de cet angle.

Soient deux droites indéfinies BB'etCC qui se coupent en A (fig. 167), et soient x'x, y'y les bissectrices des quatre angles formés autour de A.

i** Soit M un point de l'une de ces bissectrices, Ao? par exemple. Abaissons de M les perpendiculaires MP et MQ sur les côtés AB et AC de Tangle.

Les triangles rectangles MAP et MAQ sont égaux comme ayant (n" 212) même hypoténuse AM et un angle aigu égal : PAM = QAM, puisque AM est bissectrice.

On en conclut :

MPi^MQ.

a» Inversement si M est un point tel que MPr=MQ, les

deux triangles rectangles AMP et AMQ sont égaux comme ayant même hypoténuse et un côté de Tangle droit égal,

Fig. 157. — Lieu des points A égale distance de deux droites.

(n» 215). Par suite, PAM = QAM; et AM est bissectrice de l'un des angles formés par les deux droites BB' et CC