OM + MP

107. Etant donnés dans un plan une droite X Y et deux points A et B d'un même côté de cette droite, trouver sur XY un point M tel que la somme MA -{- MB soit la plus petite possible.

108. Par le sommet A d'un triangle ABC, on mène une droite indéGnie XY perpendiculaire à la bissectrice de l'angle A. Démontrer qu'en joignant un point M quelconque de XY aux points B et C, on forme un triangle MBC de périmètre plus grand que le périmètre de ABC.

109. Étant donnés dans un plan une droite XY et deux points A et B d'un même côté de cette droite, trouver sur XY un point M tel que la différence MA — MB soit la plus grande possible.

110. Une rivière dont le cours est rectiiigne passe entre deux localités A et B. En quel endroit doit-on construire un pont sur la rivière pour que le chemin parcouru pour aller de A en B en passant sur- le pont soit le plus court possible?

111. La somme des distances des trois sommets d'un triangle à un point intérieur c»t comprise entre le périmètre et le demi-périmètre du triangle.

112. Dans un triangle, au plus grand côté correspond la plus petite médiane.

On sail que les trois médianes passent par uu même poiul, silué ans deux tiers de la longueur de chacune d'elles à partir du sommet.

113. On donne trois droites OX, OY, OZ telles que les angles \0Y, YOZ

soient égaux à , d'angle droit. Par un point M pris dans l'angle XOY,'on

abaisse des perpendiculaires MP, MQ, MR sur ces trois droites. Démontrer que l'on a :

MP+MQ=:MR.

114. Trouver sur la droite A B un point équidistant d'im point donné A et d'une droite donnée BC.

EXERCICES PRATIQUES

115. Marquer deux points fixes A et B ; couper une feuille mince suivant deux droites se rencontrant en m sous un angle quelconque. Placer cet angle pour qu'un côte passe en A, l'autre en B, et marquer la position M que prend m ; cela est possible d'une infinité de manières, et on trouve une infinité de points M. Vérifier que leur lieu se compose de deux arcs de cercle passant en A et B, et symétriques par rapport à AB ; que si l'on prend sur l'autre arc AB du même cercle un point quelconque N, l'angle

ANB i^iiL k' i3Uf>pU'iiLi?nl de AMB.

116. Tiai:er un cercle de 5o de rayon; d'un point A du cercle, avec 6o de rayon, dt^trire un arc qui coupe le cercle en B, et Bj. On a ainsi 1 LOfdeft do Ho m il il mètres. Marquer leurs milieux. Répéter cette construction ytoxw INI gniitd nombre de points tels que A, et vérifier que le lieu lies Tnilionx drs ru ri les égales est un cercle de 40 de rayon, tangent à Umli's ces coidi*!?, Maiijucr un point à 48 millimètres du centre, et tracer jiar ti' point une sêtiinte qui détermine dans le cercle donné une corde de isQ miliimèiri'^.

117. Construire un cercle de 36 de rayon; par un point Aj du cercle men*^r la t^mgc nie, soit comme perpendiculaire au rayon, soit de préférence eut lime purallélc h îa corde PQ qui joindrait les extrémités des arcs égaux A|l* ri kjQ, d'ailU'urs arbitraires; porter de chaque côté de A^ sur la

ugante kiî imigueups A^Br^ AjE =r 36. Du jwint B, mener la seconde

tangente, et déterminer sen contact À, en ne se servant que du compas ei en ne traçant qu'une seule ligne ; même opération pour avoir la seconde tangente EA4 issue de E. Prolonger BAj et EA4 de AjC = A4D = 36. Véiifier que CD est tangente au cercle, et que BCDE est un carré; trouver simplement le point de contact A3 de CD.

118. Construire un triangle ABC, dans lequel AB = 6o, AC= 100, angle A= 120®; tracer les 3 hauteurs A A', BB', CC, et vérifier qu'elles passent par un même point H (extérieur au triangle à cause de l'angle obtus A) ; que le cercle décrit sur chaque côté comme diamètre passe par les pieds des hauteurs issues des extrémités de ce côté ; et que le cercle décrit sur chaque droite AH, BH, CH, comme diamètre passe par les pieds de a hauteurs.

119. Construire un quadrilatère convexe ABCD, dans lequel AB = 24, BC=:2o, angle A =: io5®, angle B=:i2o®, angle Cr=:75®. Vérifier que l'angle D a 60^, et que le cercle qui passe par A, B, D, passe aussi par C.

120. Construire par A, B, C, D les tangentes au cercle (exercice 119) pour avoir un nouveau quadrilatère convexe A'B'C'D'.

AB et CD se coupent en E, AD et BC en F, A'B' et CD' en E', A'D' et B'C en F' ; vérifier que E, F, E', F' sont sur une même ligne droite A ; que AC, BD, A'C, B'D' passent par un même point P; que OP est perpendiculaire à A ; que A'B' + CD' = A'D' + B'C ; et que les bissectrices des

angles AED, DFC sont rectangulaires.

EXERCICES THÉORIQUES

121. D'un point A, extérieur à un cercle de centre 0, on mène une tangente AB à ce cercle; sur AO, on prend, dans un sens ou dans l'autre, AC = AB, et on trace BC qui coupe le cercle en D. Démontrer que OD est perpendiculaire sur OA.

122. On prolonge le diamètre AB d'un cercle d'une longueur BC, égale au rayon du cercle. On mène la tangente au cercle au point B, et par un point quelconque M de cette tangente, on mène la seconde tangente

MB au cercle. Démontrer que l'angle BMC est le tiers de l'angle DMC.

123. Étant donnés un cercle et un diamètre AB, trouver sur ce diamètre un point M tel que si l'on mène les tangentes MC et MD, le triangle formé par ces tangentes et la corde de contact CD soit cquilatcral.

124. Lieu géométrique des centres des cercles tangents en un point donné à une droite ou à un cercle donné.

125. Lieu géométrique des centres des cercles tangents à deux droites données.

126. Lieu géométrique du centre d'un cercle de rayon donné tangent à une droite donnée.

BoDRLET. — Éléments de géom. 10

127. Lieu géométrique du centre d'un cercle de rayon donné tangent à un cercle donné.

128. Lieu géométrique des points tels que les deux tangentes menées de ces points à un cercle donné soient rectangulaires.

129. Lieu géométrique des milieux des cordes d'un cercle qui passent par un point fixe.

130. Lieu géométrique des points d'où l'on peut mener des tangentes /'finales à deux cercles donnés égaux.

131. Lieu géométrique des points tels que les tangentes menées de ces points à un cercle donné aient une longueur donnée.

132. On trace dans un cercle toutes les cordes ayant même longueur. Quel est le lieu géométrique de leurs milieux ?

133. Lieu des points d'où l'on peut mener à un cercle des tangentes faisant entre elles un angle égal à un angle donné.

134. Lieu des centres des cercles interceptant sur les côtés d'un angle donné des longueurs égales.

135. Un triangle isocèle ABC, dans lequel les côtés égaux sont AB et AC, a son côté AB fixe, et l'angle A variable. Quel est le lieu du milieu deBC?

136. Étant données deux droites rectangulaires OX et OY, on mène par un point P deux droites rectangulaires qui coupent l'une OX en A, l'autre

OY en B. Trouver le lieu du milieu M de AB quand l'angle APB tourne autour de son sommet.

137. Par l'extrémité A d'un diamètre fixe A B, on mène une corde A C, et on prend sur cette corde ou sur son prolongement les longueurs C M et CM' égales a CB. Trouver le lieu géométrique des points M et M' quand la corde AC tourne autour du point A.

138. On considère tous les triangles ayant même base BC et même angle au sommet. On demande :

I*» Le lieu géométrique du sommet A; .

2» Le lieu géométrique du point de concours des hauteurs.

139. Une droite AB de longueur constante se déplace de façon que ses

osttrémités A nt \\ ii^stftnt sur les côtés d'un angle XOY. Trouver le lieu du ceiitrn du CL'rt'î(3 circonscrit au triangle AOB.

140. En un point A dun cercle on mène la tangente, et d'un point quelconque C de celte tangente on mène la seconde tangente CB au cercle. DenioritciM' i]\w lo tiritre du cercle inscrit dans le triangle ABC se trouve l^ujouru sur U* l'iTi^h? O, quelle que soit la position du point C sur la tangente.

141. On donne lui eercle fixe de rayon OA et un cercle variable conetrnlriinie au prt^mirr, qui rencontre le diamètre BOA aux points C et C On mené 1 es perpe n (I it: Il laires en C et C au diamètre AB; elles rencontrent le cfffcli^ U respetlivL^nient aux points D, E et D', E'. Trouver le lieu géomé- I pique dfs puiiits de rencontre des rayons OD, OE, OD' et OE' avec le ivrcy variable.

<42. Par un point cquidistant de deux droites parallèles XX' et lin (mre deu\ (Imites rectangulaires AOB. A'OB' rencontrant XX' en

EXEUCICES. 147

A el A', et V \' eu li et li'. Trouver le lieu des projections M et M' du point sur les droites AB' et A'B quand AB tourne autour de 0.

143. Dans un triangle rectangle, la médiane et la hauteur issues du sommet de l'angle droit font entre elles un angle égal à la différence des angles aigus du triangle.

144. Dans un triangle rectangle, la bissectrice de l'angle droit est en môme temps bissectrice de l'angle de la médiane et de la hauteur issues lin sommet de l'angle droit.

145. Une droite de longueur constante se déplace de façon que sos extrémités s'appuient sur deux droites rectangulaires données. Quel est le lieu géométrique du milieu de cette droite?

146. On donne deux droites parallèles X et Y, une droite ÂC perpendiculaire à ces droites et une autre droite oblique AB. Par le point B on mène une droite BED qui coupe AG en E et AX en D, et telle que ED =: 2 AB.

Prouver que l'angle DBG est le tiers de l'angle ABG.

147. Dans un triangle équilatéral ABC, on prend sur les côtés A 6, BG,

C A, les points A', B', G' tels que A A' =: B B' — G G' = — . Démontrer que

les côtés du triangle A'B'G' sont perpendiculaires aux côtés du triangle ABG, et que le triangle A'B'G' est équilatéral.

148. Si par l'un des points d'intersection de deux cercles on mène une parallèle à la ligne des centres, la somme ou la différence des cordes interceptées sur cette parallèle par les deux cercles est double de la distance des centres.

149. On donne deux cercles concentriques 0, de rayons OA, OB, tels que OB=:aOA. D'un point P comme centre, extérieur au cercle OA, on décrit avec PO pour rayon un cercle rencontrant le cercle OB aux deux points G et D. Les droites OG, OD coupent le cercle OA aux points E et F. Démontrer que les droites PE, PF, sont tangentes au cercle OA. Déduire de là «ne construction permettant de tracer par un point une tangente à un cercle.

150. Les cordes de contact du cercle inscrit dans un triangle sont parallèles aux trois bissectrices extérieures des angles de ce triangle. Quelle est la propriété correspondante pour les cordes de contact des cercles exinscrits?

151. On considère deux cercles et 0' tangents extérieurement et tels que le rayon du premier soit le tiers du rayon de l'autre. On mène une tangente commune extérieure AA'. Démontrer que l'angle AOO'est égal à 6o<*.

152. Étant donnés deux cercles et 0' tangents extérieurement, le cercle décrit sur 00' comme diamètre est tangent aux deux tangentes communes extérieures aux deux cercles et 0'.

153. On donne un cercle 0,et la tangente en un point A de ce cercle; de part et d autre de A on prend sur cette tangente deux points B et G et on

mène les tangentes BD et GE. Démontrer que les angles DAE et BOG sont supplémentaires.

154. Trouver sur un demi-cercle de diamètre AB un point G tel qu'en menant la tangente en G au cercle, cette tangente rencontre AB au point D de manière que Ton ait AG = GD.

156i Étant donnés deux cercles et 0' tangents extérieurement au

point A, on mène une tangente commune BB' et la tangente commune en A, rencontrant BB' en C. Démontrer :

i*> Que le point C est le milieu de BB' ;

2" Que le triangle C 0' est rectangle ;

3» Que le triangle BAB' est rectangle.

156. Aux extrémités A et 6 d'un diamètre A6 d'un cercle 0, on mène

les tangentes, et on coupe ces tangentes en M et en N par une troisième

/X tangente au cercle. Démontrer que l'angle MON est droit.

157. Étant donné le triangle rectangle ABC, tracer un cercle tangent à l'hypoténuse BC, prolongée si l'on veut, passant par le sommet A de l'angle droit et ayant son centre sur la droite A B. (Nombre de solutions.)

158. La somme des diamètres des cercles inscrit dans un triangle rectangle et circonscrit au même triangle est égale à la somme des côtés de l'angle droit.

159. On joint l'un des points de rencontre de deux cercles aux deux centres; les droites obtenues coupent les cercles en deux autres points qui sont en ligne droite avec le second point d'intersection des deux cercles.

160. Par l'un des points d'intersection A de deux cercles, on trace une sécante BAC et on joint les points B et C au second point d'intersection D. Démontrer que l'angle BDC a une valeur constante quelle que soit' la corde BC, et qu'il est égal à l'angle sous lequel la distance des centres est vue du point D.

161. On mène la tangente en A au cercle circonscrit au triangle ABC. Démontrer que cette tangente coupe le côté BC au milieu du segment déterminé par les deux bissectrices de l'angle A.

162. Sur l'hypoténuse BC d'un triangle rectangle ABC, on prend un point D tel que AD = AB, et on abaisse la perpendiculaire CE sur AD, ainsi que la hauteur AH sur l'hypoténuse. Démontrer :

1*» Que CD est bissectrice de l'angle ACE ou de son supplément ; 2» Que l'on a AH = HE.

163. On donne un triangle isocèle ABC dans lequel AB =: AC, et le cercle circonscrit à ce triangle ; on joint le point A à un point quelconque M du cercle, et du point C on abaisse sur AM la perpendiculaire qui rencontre BM au point E. Démontrer que l'on a CMr^ME.

164. Si l'on coupe deux cordes AB, AC d'un cercle par une parallèle à la tangente en A, on obtient deux points qui sont situes avec B et C sur un même cercle.

165. On mène par l'un des points d'intersection de deux cercles une sécante, et on construit les tangentes à chaque cercle par. leurs seconds points de rencontre avec cette sécante. Démontrer que l'angle de ces tangentes est constant quelle que soit la sécante.

166. Par un point P pris à l'intérieur d'un cercle 0, on trace deux droites rectangulaires APB et CPD. On mène les tangentes au cercle aux points A, B, C, D et on forme ainsi un quadrilatère. Démontrer qu'on peut faire passer un cercle par les quatre sommets de ce quadrilatère.

167. Un cercle de centre 0' est tangent à une droite xy en un point B

de cette droite, et touche un cercle donné au point A. On joint BA qui coupe le cercle au point C. Démontrer :

!*> Que le diamètre COD est perpendiculaire à xy au point E;

2* Que les quatre points A, B, E, D sont sur un même cercle.

168. On mène les tangentes BT et CT au cercle circonscrit à un triangle ABC, et par le point T ou trace la parallèle à BA, rencontrant le cercle en D et E, et AC en F. Démontrer que le point F est le milieu de DE.

169. Les trois points symétriques du point de rencontre des hauteurs d'un triangle par rapport aux trois côtés sont sur le cercle circonscrit au triangle, et les trois sommets du triangle sont les milieux des arcs déterminés sur le cercle circonscrit par les trois points symétriques obtenus.

170. Étant donné un triangle ABC inscrit dans un cercle 0, on mène la bissectrice intérieure AD de l'angle A et la tangente AT'; AD et AT rencontrent la base BC aux points D et T. Démontrer que TA:=TD

171. Les trois hauteurs d'un triangle sont les bissectrices des angles du triangle déterminé par les pieds de ces hauteurs.

172. Construire un triangle connaissant les pieds des trois hauteurs.

173. On donne un cercle et un diamètre AB; par le centre on mène deux rayons rectangulaires OC, OD qui rencontrent en G et H les perpendiculaires à AB aux milieux E et F des rayons OA et OB. On trace les droites AG et BH qui se coupent en M. Démontrer :

I* Que le point M se trouve sur le cercle 0; •

a» Que les quatre points G, M, 0, H sont sur un même cercle.

174. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit à ce triangle, on considère le diamètre DE perpendiculaire à l'un des côtés BC du triangle. Des points D et E on abaisse des perpendiculaires DF. EG sur le côté AB. Démontrer que la distance FG comprise entre les pieds de ces perpendiculaires est égale à la longueur du troisième côté AC.

175. On considère deux diamètres rectangulaires AOB et OE d'un cercle 0. Par le point A on mène une sécante rencontrant OE en D, et le cercle en C. On mène la tangente en C; elle rencontre AB au point T, et enfin en ce point T dn élève sur AB la perpendiculaire qui rencontre AC en F. Démontrer que FB est perpendiculaire à BD.

176. On considère un diamètre AB d'un cercle donné 0. D'un point C de ce cercle comme centre, on décrit un cercle tangent à AB, et des points A et B on mène les autres tangentes à ce cercle C. Démontrer que ces tangentes sont parallèles quelle que soit la position du point C.

177. On donne deux cercles et 0' tangents intérieurement en C; on trace le diamètre ABC commun aux deux cercles, et par le milieu P de AB on élève la perpendiculaire PM à AB, rencontrant le cercle en M. On mène enfin MC qui rencontre le cercle 0' en D et l'on demande de démontrer que PD est tangente au cercle 0', et que l'on a PM := PD.

178. Si par le milieu A d'un arc BAC on mène deux cordes quelconques AD, AE qui coupent en F et G la corde BC, le quadrilatère DFGE est inscriptible.

179. Deux cercles sont tangents intérieurement en C. On mène au cercle intérieur une tangente APB en P ; elle rencontre l'autre cercle en A et B.

On mène CP qui coupe le cercle extérieur en Q. Démontrer que le point Q est le milieu de l'arc AB.

180. Si Ton mène par les deux points d'intersection A et B de deux cerclée qui se coupent deux sécantes parallèles ACD et BEF, les deux lenteurs CD et EF sont -égales.

181. Étant donnés un cercle de centre et un point A extérieur, mener par ce point A une sécante ABC rencontrant le cercle en B et G, et telle que

ABrrBC.

182. Étant donnés deux cercles concentriques et un pouit A sur le cercle extérieur, mener par ce point une sécante qui soit divisée en trois parties égales par les deux cercles.

183. Construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse et l'un des côtés de l'angle droit.

184. Construire un triangle isocèle connaissant le rayon du cercle circonscrit et l'un des côtés égaux.

185. Construire un triangle isocèle connaissant la hauteur et l'un des angles égaux.

186. Construire un point tel que les tangentes menées de ce point à deux cercles donnes soient égales et égales à une longueur donnée.

Recommencer la construction plusieurs fois avec des longueurs différentes de tangentes égales. Constater que les divers points construits sont sur une ligne droite perpendiculaire à la ligne des centres des deux cercles.

187. Étant donnés un cercle et un point A à l'intérieur du cercle, mener par A une corde dont A soit le milieu.

188. Construire un triangle rectangle connaissant la médiane et la hauteur relatives à l'hypoténuse.

189. Mener par un point donné deux droites rectangulaires qui interceptent sur une droite donnée X\ un segment de longueur donnée.

190. Inscrire dans un carré un triangle équilatéral ayant un sommet en un sommet du carré.

191. Construire un triangle isocèle connaissant le rayon du cercle inscrit et l'un des angles égaux.

192. Construire un triangle équilatéral connaissant le rayon du cerelo nscrit.

193. Construire un tnangle rectangle connaissant l'un dos angles aigus et le rayon du cercle inscrit.

194. Construire un triangle connaissant deux côtés et la hauteur relative à l'un de ces côtés.

195. (Construire un triangle connaissant un côté et les deux hauteurs issues des extrémités de ce côté.

196. Construire un triangle connaissant un côté, l'angle opposé à ce côté et la hauteur relative à ce côté.

197. Construire un triangle connaissant un sommet et les pieds de deux hauteurs (deux cas).

198. Construire un carré connaissant la somme l du côté et de la diago-

199. Construire un triangle connaissant le rayon du cercle circonscrit et les angles.

200. Construire un triangle ABC, connaissant l'angle A et les distances BH et Cil des deux sommets B et C au point de concours H des hauteurs.

201. Par un point du plan d'un cercle, tracer une sécante telle que le segment compris sur cette sécante entre ses deux points de rencontre avec le cercle soit égale à une longueur donnée /.

202. Étant donnés une direction XY et un cercle 0, tracer dans le cercle et parallèlement à XY une corde de longueur donnée /.