LIVRE 1V, — SURFACES

Ce raisonnement Peut d’ailleurs se tion du mètre à laquelle s'arrête le théorème est vrai dans tous les cas,

Donc l'aire d’un reclangle égale...

répéter, quelle que soit la fracxpression des dimensions ; ainsi le

254. Scolie, 1° Deux rectangles quelconques les produits des bases par les hauteurs :

R bh

2 Deux rectangles de même buse sont e leurs, et deux rectangles de même haute bases.

3 L'aire d'un carré égale le produit du cûté carré est un reclangle dont les deux dime vient l'usage d'appeler carré d’un nombre par lui-même.

Sont entre eux comme

nlre eux comme les hau- Ur sont entre eux comme les

Par lui-même; car le nSIOnS sont égales, De Jà le produit de ce nombre

Proposition II. — Théorème,

259. L'aire d’un arallélos ramme égale le roduil de (, { hauteur.

Soit le parallélogramme ABCD.

Construisons le rectangle ABEF, qui a même base b, et même bauteur À que le F parallélogramme.

AD ct BC sont égaux comme côtés Opposés d’un parallélogramme, AF et BE sont égaux pour la même raison; donc les triangles rectangles ADF et BCE sont 4 égaux comme ayant l’hypoténuse égale et un autre côté égal. Ainsi le parallélogramme ABCD équivaut au rectangle ABEF, et l'aire du Parallélogramme égale, comme celle du reclangle, le produit de la base b bar la hauteur },

256. Corollaires, 1° Deux parallé même hauteur sont équivalents.

2 La base Supérieure d'un Parallélogramme peut se mouvoir suivant sa propre direction, sans que l'aire du Parallélogramme soit altérée,

3 Deux parallélogrammes quelcon Produits des bases Par les hauteurs.

4 Deux Parallélogrammes de méme ba hauteurs, et deux parallélogh comme les bases,

Remarque. Dans un parallélogramme, on pre

sa base par sa

logrammes de même base et de

ques Sont entre eux comme les

se sont entre eux comme les ‘aämmes de même hauteur sont entre eux

nd pour base un côté de la base au côté opposé, Proposition XII, — Théorème.

257. L'aire d'un lriangle égale la moitié du produit de sa base par

Soit le triangle ABC.

Menons BE parallèle à AC et CE parallèle à AB. La figure ABEC est un parallélogramme de même base et de même

hauteur que le triangle donné.

| Les deux triangles ABC et BCE sont N' égaux comme ayant les côtés respective- Li ment égaux {n° 90); donc l'aire du triangle ABC égale la moitié de E l'aire du parallélogramme AE, et par conséquent la moitié du pro- } duit de la base b par la hauteur h.

258. Gorollaires. 1° Un triangle quelconque est la moitié du rectangle qui a même base et même hauteur.

2 Deux triangles de même base et de même hauteur sont équiva- N lents.

e sommet d'un triangle peut se mouvoir parallèlement à la base, sans que l'aire du triangle soit allérée,

4° Deux triangles quelconques sont entre eux comme les produils des, bases par les hauteurs.

5° Deux triangles de même base sont entre eux comme les hauteurs, et deux triangles de même hauteur sont entre eux comme les bases.

Go Les trois hauteurs d'un triangle sont inversement proportionnelles aux bases correspondantes; car si l'on appelle a, b, e les trois côtés, è a", L', c' les hauteurs correspondantes, on a

aa = bb'= cc (le double de la surface); donc si

a—=b, il en résulte a'=D': si a=2b, «' égalera 1/0’; si a = mb, Q

a' égalera i br, |

in ci

i 239. Scolie. L'aire d'un triangle quelconque égale la moitié du pra- co {K duit du périmètre par le rayon du cerele inscril ; pc lié EU il en est de même pour tout polygone circonscrit à un cercle, a À

Car ces figures sont décomposables on triangles ayant tous pour nên

hauteur le rayon du cercle inscrit, et pour bases les divers côtés. obti

proc

e à AC et CE paral- ABEC est un paral- : base et de même le donné.

ABC et BCE sont es côtés respective- : égale la moitié de t la moitié du pro-

a moitié du rectan- Luleur sont équivaarallèlement à la omme les produits

base sont entre eux tmangles de même Le les bases.

triangle sont in- «x bases corresponb,e les trois côtés, :spondantes, on a a surface); donc si | 1j; si a=mb,

la moilié du pra-

crit à un cercle.

ayant tous pour divers côtés.

Proposition IV, — Théorème,