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Proposition VI. — Théorème,

264. L'aire du cercle égale la moitié du produit de la circonférence i par le rayon.

{ En effet, le cercle est la limite du polygone “ia régulier inscrit, dont le nombre des côtés aug-

mente indéfiniment ; l'apothème tend vers le rayon du cercle, et le périmètre vers la circonférence.

En appliquant à la limite la propriété du polygone, on conclut que l’aire du cercle égale la moitié du produit du rayon par la circonférence.

265. Scolie. 1° On arrive directement à la formule de l'aire du cercle en le considérant comme un polygone régulier d'un nombre indéfini de côtés; à ce point de vue, le cercle est décomposable en triangles infiniment pelits, ayant tous le rayon pour hauteur,

2 La circonférence ayant pour expression 2#r, l'aire du cercle sera {/or.2nr où mr; ainsi l'aire du cercle s’oblient en multipliant le nombre x par le carré du rayon.

Si l'on appelle d le diamètre, on a r—#, =, ot l'aire du

cercle est x. 7

Ls , L4 C .

3° Appelons C la circonférence; le rayon sera 5e, © l'aire du

cercle sera 5 C x Ci cercle égale le nombre inverse de =, ou 0, 318 21, mulliplié par le carré de la demi-circonférence.

4 L'aire d’un secteur circulaire égale la moitié du produit de l’are par le rayon. Car le secteur circulaire est la limite vers laquelle tend le secteur polygonal régulier inscrit, dont le nombre des côtés aug-

f | ; mente indéfiniment; et le secteur circulaire peut lui-même être conf Hi Î ?

ou 2 xd.

C2 C 1} 1 LI) Où je Où (GS) <£; donc l'aire du

sidéré comme un secteur polygonal régulier d’un nombre indéfini de côtés.

} 5° Soit » le nombre des degrés de l'arc d’un secteur; l’aire du cercle

j étant mr, l'aire du secteur d’un degré est à mr, el l'aire du secteur = DUuU

Je» n considéré est = 2.

recta:

e la circonférence

mite du polygone e des côtés augme tend vers le re vers la circon-

propriélé du polu cercle égale la * la circonférence.

de l’aire du cercle nombre indéfini able en triangles

l'aire du cercle t'en mullipliant

e et l’aire du

Le et l’aire du 27?

donc l'aire du nulliplié par le produit de l'arc ers laquelle tend e des côtés aug- -même être conmbre indéfini de

l’aire du cercle

aire du secteur

LIVRE IV, — SURFACES 105 Go L'aire d'un segment circulaire ABC AOBC moins l'aire du triangle AOB q tés de la corde et le centre de l'arc.

égale l'aire du secteur entier ui à pour sommets les extrémi-