S IT, — RELATIONS ENTRE LES SURFACES

266. Remarque. Puisque l'aire d'un rect ses deux dimensions, et qu par lui-même,

Réciproquement : Le nombre que l’on appelle produit de deux lignes exprime l'aire du rectangle qui a Pour dimensions ces deux mêmes lignes ;

Et le nombre que l'on appelle carré d'une ligne exprime l'aire du carré construit sur celle méme ligne.

D'où il suit que toutes le est question de carrés ou d gnes, donnent lieu à une { faces. Exemples :

Le carré construit sur la somme ou sur la

différence de deux lignes, égale la somme des carrés construits sur ces de

uæ lignes, plus où moins deux fois Le reclangle construit avec ces mêmes lignes :

(a+b)2 = E+b+9ab

angle égale Je produit de e l'aire du carré égale le Produit du côté £ Il

8 propriétés où il © produits de liraduction en sur-

Le rectangle Construit avec la somme et la différence de deux lignes, égale la différence des carrés construits sur ces mêmes lignes :

(a+b}(anp)= 8 pe

Le carré constr

uit sur la hauteur d'un triangle reclangle égale le rectangle const»

uit avec les deux Ségments de l'hypoténuse :

= mn

| «rt \re ES)

Le carré construit sur un côté de l'angle droit d'un triangle rec-

langlè, égale le rectangle construit avec la projeclion de ce côlé sur l'hypoténuse, et l'hypoténuse entière :

= an

Lorsque deux cordes se coupent dans un cercle, lerectangle construit

avec les deux segments de l'une égale le rectangle construit avec les deux seyments de l'autre.

Lorsque deux sécantes partent d'un même point hors d'un cercle, le rectangle construit avec la première sécante et sa partie extérieure

EI nr bee gere

Fe Ps

égale le rectangle construit avec la seconde sécante el sa partie extérieure.

Si une langente el une sécante partent d'un même point, le carré

. É D cn Dee oct me a en DO

Construit sur la tangente égale le rectangle construit avec la sécante entière el sa partie extérieure,

a été trian Or relati cure somn deux colé

209, sont e Comp

Dole gle A

Si l deux { ils sont

d'un triangle recclion de ce côlé sur

reclangle construit

» construil avec les

hors d'un cercle, a partie exlérieure

el sa partie exté-

re point, le carré

{ avec la sécante

Proposition VII, — Théorème de Pythagore,

267. Le carré contruit sur l'hypoténuse d'un égale la somme ces carrés construits sur les deux

Soit le triangle rectangle

ABC ; et soient M,PetQ, les I

carrés construits sur les trois << \

côtés, Menons ADI perpendi- «

culaire à CB; menons aussi BI H

et AE, et considérons les deux ANS

triangles ACE et BCH.

Dans l'un et dans l'autre, l'angle en C $e compose de l'angle n augmenté d'un angle droit; les côtés CA et CE du premier triangle égalent l'ESpeC= tivement CH et CB du second, Comme côtés des carrés P et M, Donc ces triangles sont égaux.

Le premier triangle ACE est la moitié du rectangle CEFD où R qui a même base CE et même hauteur CD; le second triangle BCH est Ja Moilié du carré P, qui a même base CH et même hauteur CA.

Donc le reclangle R et le carré P sont équivalents, Comme ayant des moitiés égales, On prouverait de même que le rectangle S est équivalent au carré Q. On a donc R+S où M = P +0,

Donc le carré construit sur l'hypoténuse...

268. Ce théorème est une {raduction en surfaces de la relation qui à élé établie, par les triangles semblables, entre los trois côtés du triangle rectangle (n° 214),

On peut aussi traduire en surfaces les (héorèmes Qui expriment Ja relation entre les trois côlés d’un triangle quelconque (nv 216) : Le carré construil sur un coté opposé à un ctgle oblus ou “tique, égale lu somme des carrés construits surles dei aubres cotés, plus ou Moins deux fois le reclangle construit ave le second coté el la projection du troisième sur le secont.

triangle rectangle autres cotés,

ll I = 0

Proposition VIII, — Théorème.

209. Deux Lriangles qui ont un angle équl Sont entre eux comme les produits des cotés COmnprennent l'angle égal,

Soient ABC et ADF deux triangles ayant l'angle À commun, Menons CF,

Si l'on prend les bases sur la ligne AF, les deux triangles ABC et ACF ont même hauteur:

ils sont donc entre eux comme leurs bases, et l’on a ABC RE AB ACF — 4F

qui