LIVRE V, — GÉNÉRALITÉS SUR LES DROITES pr LES

AP, perpendiculaire au plan MN, dans ce plan, 1} ÿ aurait donc, sur

l'est aussi à la droite PB mente un même plan AD, deux perpen-

diculaires PB et PC en un même point P de Ja droite AA’, ce qui esl Impossible, Donc...

297. Scolie, Le plan indéfini mené Perpendiculairement au milieu d'une droite est Le lieu géométrique des

8 points équidistants des deux ealrémilés de cette droite,

Proposition VI, — Théorème,

298. Par un point donné, on peul mene laire à un Plan, et on ne Soit M le plan donné pourra être donné sur le par exemple, ou ho 1° Prenons un plan auxiliaire M’, avec une droite A'P' perpendiculaire à ce plan, et transportons le plan M' sur le plan M, en faisant glisser M' de telle sorle que la droite A'P' passe Parle point donné, P ou A, Alors A'P" transportée en AP, sera perpendiculaire au plan M.

2 On ne peut SUPposer, par le même point A AC perpendiculaires au plan M; car si l'on mène

r une droite Perpendieupeul en mener qu'une,

; le point plan, en P rs du plan, en A,

, deux droiles AB et » Par ces deux droites,

| H HU [}l 1| { ! 1} | ll 1 eLIAÿ 7 MÉRLIBNNOE==

le plan GF, chacune des deux droites AB et AC

serait perpendicu- € qui est impossible, Donc.

Lime EE

EE

APR PR Can Re Tres

Proposition VII, — Théorème,

299, Si d'un poin! pris hors d'un plan, on mône à ce plan une perpendiculaire et différentes obliques :

1 La perpendientuire est plus courte que toute oblique ;

2 Deux obliques dont les pieds s'écartent également du pied de lu perpendiculaire sont équles ;

3 De deux obliques, la plus longue est celle dont le pied s'écarle le plus du pied de la perpendiculaire,

1° Soit, AP une perpendiculaire, el AB une oblique; AP perpendiculaire au plan M, l'est aussi à la droite PB menée par son pied dans ce plan ; donc le triangle APB est rectangle en P, et AP est plus petit que AB.

2 Soient les obliques AB et AC telles que l'on ait PB=PC; les triangles rectangles APB et APC sont égaux comme ayant en P un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux; donc AB = AC...

3 Soient deux obliques AB et AD telles que l'on ait PB ZPD: si l’on prend PC égal à PB, l'oblique AC est égale à AB; mais AC est plus petit que AD; done AB < AD... Donc...

300, Corollaires, 1° Si deux obliques partant d'un même point sont égales, leurs pieds sont également distants du pied de lu perpendiculaire ;

2 Si deux obliques parlant d'un méme point sont inégales, le pied de lu plus longue est plus éloigné du pied de la perpendiculaire :

3% D'un point à un plan, on peut mener un nombre indéfini d'obliques égales, et le lieu des pieds de ces obliques est une circonférence qui a pour centre le pied de la perpendiculaire

4 Les obliques égales menées d'un méme point font des angles égaur avec la perpendiculaire qui part de ce méme point; ë

J La distance d'un point à un plan est donnée par la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan ;

Go La plus courte ligne possible d'un point à un plan est perpendiculaire à ce plan,

Proposition VIII. — Théorème des trois perpendiculaires,

301. Étant données : une première droile AP perpendiculaire à un plan M, une seconde droite PB menée dans le plan par le pied de la première, el une lroisième droite CD menée dans le plan perpendiculairement à la seconde:

Si l’on joint un point quelconque de la première ligne au point de rencontre des deux aulres, la droite AB ainsi mono ps perpendiens laire à la troisième ligne donnée CD *.

* En supprimant les lettres, on aura un énoncé général qu'il est bon de retenir,

peu UT He) dro ‘éle plai une

ces 0 S0 par la di plan D’:

rallè] lienn.

voir uw

ône à ce plan une

oblique ; ment du pied de lu

ul le pied s'écarle le

perpendiculaire, el *: AP perpendicuest aussi à la droite 1 pied dans ce plan ; APB est rectangle lus petit que AB, bliques AB et AC ait PB= PC; les omme ayant en P ment égaux; donc

n ail PB<PD; si à AB; mais AC est

n méme point sont | de la perpendicu-

! sont inégales, le de la perpendicu-

, nombre indéfini es est une circonaire;

t des angles éqaur e par la longueur lan ;

} plan esl perpen-

pendiculaires.

‘pendiculaire à un » par le pied de la Le plan perpendi-

ligne au point de

> pt norpend

’il est bon de retenir,

LIVRE V, — GÉNÉRALITIS SUR LES DROITES Portons des dist BD, et joignons Je points C et D, Dans la ligure CPD, Je et PD sont égales AG et AD Je 80 CAD est donc isocèle, \B est perpendiculaire Ce Qu'il fallait dé

ances égales BC et 8 points À et P aux

8 obliques PC ; donc les obliques nt aussi: Je triangle el la médiane à la base CD, M

montrer, Done...

ÿ Il, — DROITES ET PLANS PARALLÈLES 902, Définitions, Une droile el Un plan sont parallè longés indéfiniment silsne Peuvent se rencontrer, Deux plans sont parallèles lorsque, prolongés ind Peuvent se rencontrer, I résulte de ceg di droite lracée

finiment, ils ne finitions «

[ue si deux } sur l'un de

ans sont parallèles ces der Plans est

,lonte Parallèle

à l'autre Plan, Pr position IX, — Théorème.

au point donné

» ON peul mener une

ne droite donnée,

mener qu'une.

Soit À Je point donné, et RC la droite donnée: Le point À el Ja droite délerminent 1. plan BD; or, plan, on peut mener une parallèle à BC

303, P dans l'espace

parallèle à

el on ne peut en

dans ce » Par le point A, » el l'on ne peut e

R mener qu'une. Done...

Proposition +, — Théorème.

9304, Si deux

ces droites est pr Soient Je

droites SONT parallôlos trallèle à l'autre, S parallèles AB ot CD, par la droite CD, 1] faut prouver

, tout Plan mené par une de

el soit M un pl

an quelconque mené que la droite AB ne Peut rencontrer Je B plan M, D'après Ia définition des lignes parallèles, les droites AB et CD appartiennent

à un même plan AD, Prolongée indéfiniment, la droite AB ne pour:rail sortir du plan AD; cette droite ne plan M sans rencontrer en même Le possible, Done.

voir

Pourrail donc re MpS la droila CD

ncontrer le : CE Qui est im- Corollaire, Pur

UN point donné Une infinité de

dans l'espace plans parallèles

» ON peul conce- S à une droile

don née,