S I. — PERPENDICULAIRES ET OBLIQUES
Proposition VI. — Lemme.
34, Une ligne polygonale convexe est plus pelile que toute ligne enveloppante terminée aux mêmes extrémités.
Soit ABCD une ligne convexe cn-
veloppée par AEFGD. Prolongeons AB et BG; on a (n° 11,2): F NX AB+BF<AE+ EE ; BC + CG<BE+FG Pie — (E * Tee Æ CD &CG + GD Le
En ajoutant membre à membre ces , trois inégalités, il vient :
AB + BEF + BC+4 CG + CD <AE+HEF + BE + EG +4 CG 4 GD,. D'où, en retranchant de part et d'autre BE et CG : AB + BC + CD <AE+EF + FG + 0GD, Donc une ligne polygonale convexe est plus petile...
Proposition VII. — Théorème.
autres et plus grand que leur différence, Soit ABC un triangle quelconque, et soit CB ou a le plus grand côté.
35. Chaque côté d'un triangle est plus petit que la somme des deux
Bi À
Dre ton des D
D mn
Perpendiculaire e différentes
perpendiculaire son le plus du pied de la)
férentes obliques,
ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE I La ligne droite CB est plus courte «
(n° 11, >); on a donc a<b+e, A La même propriété est évidente pour # chacun des deux autres côtés, LT c 2 L’inégalité précédente revient à Ed celle-ci... b+c> a d'où, en relranchant b aux deux membres... Cc>œa—bh , On retranchant ec...
côté d'un lriangle est.
On aurait de même
b>a—e, Donc chaque
Proposition VIII, — Théorème.
936, D'un point pris hor
s d'une droite, on peul mener diculaire à cette droite
» CÜOn n’en peut mener qu'une.
Soil À le point donné.
4 Menons une droite quelconque AD; faisons l'angle m’ égal à m; portons DA en DA’, et menons la droite AA’, 1° Si l’on fait tourner la partie supérieure de la figure autour de BC, l'angle m Coïncidera avec son égal m', et la droite DA avec son égale DA'; et comme le point E est fixe, la droite EA coïncidera avec EA', et l'angle n avec n', Ainsi ces deux angles sont égaux; BC est donc perpendiculaire sur AA’ (n° 21), et par suile AA’ l'est sur BC (no 30, bo), 2 AË étant perpendiculaire à BC, toute autre droite AD sera oblique; car si l'on SUPposait AD perpendiculaire à BC, l'angle m serait droit, ainsi que son égal m', la somme M+m' égalerait deux droits, et les cotés extérieurs DA et DA’ seraient en ligne droite (n°31); il y aurait donc deux droites différentes de À en A’, ce qui est impossible Ens 1), Donc d'un point pris hors
une perpen-
LA
= un
d'une droite...
Proposition IX, — Théorème.
37. Si, d'un Point pris hors d'une droite obliques, 4 La Perpendiculaire est plus courte 2 Deux obliques dont
> On Mêne à celte droite une
que toute oblique :
les pieds s'écartent également du pied de tn légales ;
3 De deux obliques, la plus longue est celle dont le
‘‘rpendiculaire,
Soit À le point donné, AB une perpendiculaire, AC, AD, AE, dif- Perpendiculaire AB d'une longueur
Pied s'écarte
Prolongeons Ja
BA égale à BA, ot menons CA' et DA’,
1° À cause deg angles droits m et m', si l’on fait tourner autour
que la ligne brisée CA + AB
de D BA, CA’,
La que on a AC -
les a ABE AB, donc
cour
de la Jo égal pend 4o égqau Bo de l perp Go dicul
est 6 droil
Ré deux Perp.
des
Do
brisée CA + AB a<b+ ec,
st évidente pour
CÔLÉS,
ente revient à b+c> a
Cc> =. f) bL>a—e.
rune perpen-
elconque AD:
:; portons DA le AA’.
à parlie supéle BC, l'angle val m', et la A"; el comme Le EA coïnciavec n', Ainsi ; BC est donc °21), et par 30, 5),
ite AD sera 3, l'angle m alerait deux ligne droite \', ce qui est
e droile une
| pied de La ed s'écarte
), AE, dife longueur
er autour
