LIVRE VI, = LES POLYÈDRES

Il sufit de prendre Je décimètre pour unilé, et de répéter Je raisonnement précédent; on obtiendra 91 800 décimètres cubes, ou 91 mètres cubes 800,

Ce raisonnement est applicable quelle que soit la fraction du mètre à laquelle s'arrète l'expression des dimensions, Donc. |

Ce volume a pour formule ! V= abc,

374. Scolie, 1° Le produit des deux premières dimensions d'un parallélipipède exprimant la surface de la base, on dit aussi que le volume du parallélipipède rectangle égale le produit de sa base hauteur, ce qui s'exprime par V—Bh,

2 Le volume d'un cube est eæprimé par la troisième Puissance as de son arêle: V =: de là vient l'usage d'appeler cube d'un nom bre la puissance troisième de ce nombre,

par sa

Proposition VIII, — Théorème.

375. Le volume d'un prisme droit égale le produit de sa base par sa hauteur: V=p,

1° Soit d’abord un parallélipipède droit BH, ayant pour base un parallélogramme quelconque ABCD.

Menons les plans AK et BM perpendiculaires aux faces parallèles AF et DG, et comparons les prismes triangulaires droits ADIK et BCLM ; leurs bases ADI et BCL sont égales comme ayant un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux (n% 77 et 90); d’ailleurs ces prismes sont droits, et ont même hauteur; donc ils sont égaux (n° 372),

Ainsi, le Parallélipipède considéré est équivalent au parallélipipède rectangle ABLIK, qui a la même hauteur et une base équivalente ; donc, pour l’un comme pour l’autre, le volume égale le produit de la base par la hauteur.

2 Soil un prisme triangulaire droit ABCDEF. Prolongeons les plans des bases et menons le plan DH parallèle à BF, et le plan CG parallèle à BD.

Nous formons ainsi un nouveau prisme triangulaire droit, de même hauteur que le prisme considéré; et les bases ACB et ACH sont égales comme moitiés d’un même parallélogramme.

Done ces deux prismes sont égaux (n° 372).

Ainsi le prisme droit ABCF est la moitié du parallélipipède droit ABCHG, qui a même hauteur et une base double.

Donc le volume d'r+ prisme triangulaire droit égale le produit de sa base par sa hauleur,

3° Un prisme droit quelconque est décomposable en prismes trian-

gulaires droits ayant tous môûme hauteur, et dont les bases réunies forment la base du prisme total,

Ainsi le volume total rale le produit de la hauteu commune par £ * nl

la somme des bases c’est-à-dire par la base du prisme considéré.

Jonc.….,

Proposition IX. — Théorème.

976. Le volume d'un prisme quelconque égale le produit de sa base par sa hauteur. .

Soit P un prisme oblique quelconque. Construisons un prisme droit P' de même base ot de même hauteur, et suppo= sons les deux solides coupés par un même nombre de plans parallèles aux bases, et équidistants entre eux; toutes les sections ainsi déterminées sont égales aux bases, et par suite égales entre elles.

Considérons deux sections correspondantes », et m', et formons-en les bases supérieures de deux petits prismes droits M et M', ayant pour hauteur la distance des plans sécants, Ces prismes droits ayant même base et même hauteur sont égaux (n° 372); et il en est de même de tous les prismes analogues que l’on peut former dans les deux solides,

Ainsi la somme des prismes formés en P est égale à la somme des

prismes formés en P’, c’est-à-dire au prisme P’ lui-même, Et cela est vrai, quel que soit le nombre des plans sécants. Or si le nombre de ces plans croît indéfiniment, l’ensemble des prismes formés en P tend

vers le prisme P lui-même; donc ce prisme est équivalent au prisme

droit P° qui a même base el même hauteur; et son volume égale le produit de sa base Par sa hauteur,

377, Coroiiaires, 1° Deux Prismes de même hauteur et de bases équi-

J que un :

it les bases réunies

teur commune par Prisme considéré.

produit de sa base

1isons un prisme le même base et de tuteur, et suppodeux solides couun même nombre parallèles aux baiquidistants entre ttes les sections rminées sont égaases , el par suite tre elles.

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à la somme des ême. Et cela est si le nombre de ormés en P tend alent au prisme volume égale le

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