LIVRE VI, — LES POLYÈDRES
Les trois pyramides sont donc équivalentes: et ainsi la pyramide
SAMC est le Liers du prisme qui a même base et même hauteur; done le volume de cette pyramide égale le tiers du produit de sa base par sa hauteur.
2° Une pyramide quelconque S ABCDE est décomposable en pyramides tiangulaires ayant loutes même hauteur, et dont les bases réunies forment la base de la pyramide totale, Ainsi le volume total égale le tiers de la hauteur commune, multiplié par la somme des bases, c'est-à-dire par la base de Ja pyramide considérée. Donc...
SE re
Be a
Put
ME
394. Corollaires, Deux Pyramides quelconques sont entre elle les produits des bases par les hauteurs.
2° Deux pyramides de méme hauteur sont entre elles comme leurs
bases, et deux Pyramides de bases équivalentes sont entre elles comme les hauteurs.
S comme
PE
395, Scolie. Tout prisme triangulaire est déc
9 ramides équivalentes.
2 Le volume du tétraèdre régulier, en fonction de son aréle à, es 1/19 a 2. En effet, soit ARC la base d'un tétraèdre régulier, H le
omposable en trois py-
pied de la hauteur, et ASD le rabattement d’une section faite dans le solide par la bauteur SH et par le point A, On a:
Volume SABC— 1/3 surface ABC s SH — 1/3. BD, AD. SH Or
AD'—AR'Rir. « Ja, AD°= AB*— BD Se Tee) 5 La hauteur SH s'obtient par le triangle rectangle AHS, dans le
quel SA = a, et AH 2, AD (no 183)= 5 SVT = 193
« a y5 d'où AD=Sy3
SH°=SA°— AH" 4. 0 2a
On a donc :
d'où
160 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE = D Â + Le volume cherché est donc à CURE ae où 5; a y 2
V3 19 Proposition XVII. — Théorème,
396. Le volume d'un tronc de Pyramide à bases paraltites égale le liers de la hauteur du {ronc, multiplié par la somme des bases el
de leur moyenne géométrique,
1° Soit d'abord un tronc de pyramide triangulaire à bases parallèles,
\MCDES . Menons les plans SAC et ESC; le solide entier 5e trouve som posé en trois pyramides trianguülaires, SAMC, SCDE et SÂCE, ou P’, 1, p”.
La première SAMC, a pour base la base inférieure B du tronc, el pour hauteur la distance des deux bases, c’est-à-dire la hauteur du tronc; son volume est donc 1/3 Bh.
Dans la deuxième pyramide, on peut prendre le point C pour sommet; la base B/ est la base supérieure du tronc, et la hauteur est encore la hauteur du tronc; le volume de cette seconde pyramide est donc } 3 B'h.
La troisième pyramide SACE, et la seconde SCDE, peuvent être considérées comme ayant le point S’pour sommet commun; la hauteur commune est la distance du point $ au plan AD; ces pyramides sont donc entre elles comme leurs bases ACE et CDE ; or ces deux triangles ont même hauteur, savoir la distance entre les deux parallèles AC et DE; ils sont donc entre eux comme leurs bases AC et DE. Ces deux lignes étant des côtés homologues des triangles semblables
> A0 … AC VE B et B', on à : DE: => d'où ÿ
p'"’ = AC VB PT CDE— VB" do AVR EE UD D .
d'où P”=— VE P"— VE VBVB'=t/3hÿBB Ainsi la troisième Pyramide équivaut à une pyramide qui aurait pour hauteur la hauteur du tronc, et pour base une moyenne géométrique entre les deux bases du tronc.
La somme des trois pyramides donne pour le volume d ! onc : = 1/3 Bh + 1/3 B'h + 1/3 h V BP’
ou V=i/sh(B+B'+ v BB) 2° Soit maintenast on tronc de pyramide quele:
, à bases
me.
es paralièles égale le somme des bases el
un tronc @e pyraà bases parallèles, s les plans SAC et er 52 {trouve décom aides triangülaires, ACÈ , ou a OT UE MC, a pour base la du tronc, et pour e des deux bases, teur du tronc; son ; BR.
pyramide, on peut | pour sommet; la hauteur est encore pyramide est donc
(DE, peuvent être commun; la hau- \D; ces pyramides CDE ; or ces deux re les deux paralrs bases AC et DE.
angles semblables
VB'=1/3hy)Bh
amide qui aurait moyenne géomé-
me d fonc:
, à bases
parallèles B et C, Prolongeons les arêtes latérales miner la pyramide en S; construisons une pyramide triangulaire S'R ayant s ?
même hauteur, avec une base BR’ équi- hi $ valente à B; et délachons, parallèle- | ment à la base B', une Pyramide parüielle S'C' de même hauteur que SC, Les bases B et B' étant équivalentes, es seclions C et C’ faites à des hauteurs égales sont équivalentes (n° 388).
Les pyramides partielles SC et S'C sont équivalentes, comme ayant même hauteur et des bases équivalentes (ne 391); il en est de même des pyramides totales SB et S'B", et par conséquent aussi des deux troncs T et T”.
Mais les bases étant équivalentes, on a, pour le tronc de pyramide T comme pour le tronc EE, Tæt/sh (BB VB), Donc...
Scolie. Soient à et a’ deux côtés homologues des bases B et B', et soit Æ le rapport de similitude de ces mêmes bases.
Qué L == (S) =, d'où B'=B}:, En portant cette valeur de B' dans l'expression du volume dx tronc, on à V=t/3h(B + Be + VB ou V=i/3h(B + Be + Bx ou enfin V=1/3BA (1 +k+k:) Cette formule est commode pour les calculs pratiques.
Proposition XVIII, — Théorème.
397, Le volume d'un tronc de prisme triangulaire égale la section droite mullipliée par la moyenne arilhmélique des trois arétes latérales,
1° Considérons d'abord un tronc de prisme triangulaire droit AMC DES; appelons B la base AMC,et m,n, p, les arêtes latérales. Menons les plans ASCetESC. Lesolide entier se trouve décomposé en trois Pyramides triangulaires, SAMC ; SCDE et SACE.
La première pyramide SAMC à B pour base et l’arête m pour hauteur; ainsi son volume est 1/3Bm,
Dans la seconde Pyramide SCDE, on peut transporter le sommel S en M,
puis le sommet E en A
