LIVRE VI, — LES POLYÈDRES

Soient À et B deux figures symé Port au centre O, et Ja seconde Par les deux points O et 0’, menons un ligure A peut être transportée en A", de G par rapport au plan MN mené Position A’, la figure pe symétrique de Ç par r et alors les deux figur

triques de C, la première Par rapport au centre ()’.

manière à être par le point O (no 411); ut être transportée en B, de manière apport au centre O’ pris sur le es À et B coïncident, Donc...

2° Deux fiqures Symélriques d'une plans différents sont égales,

même fiqure Par rapport à des Soient À et B deux fi

aures symétriques de C, la première par rapport au plan M, et Ja seconde Par rapport au plan N. Considérons un point quelconque 9 de l'intersection des deux plans,

La figure A Peut êlre transporte en A’, de manière à être Symétrique de CG par apport au point O pris dans le plan M {ne 110); et de celle position A’, la figure peut être transportée en B, de manière à être symétrique de C Par Tapport au plan N qui contient le point (

‘ne 411); et alors les deux figures À et B coïncident. Donc...

Sculie, Si l’on ne fait altention qu'à la forme des figures, toute propritté démontrée dans la symétrie Par rapport à un point, se W'ouve par 1à mème établie dans la Symétrie par rapport à un plan. Geile remarque permet de choisir tel genre de symétrie que l'on voudra, pour Ja démonstration de chaque propriété,

Proposition XXVI, — Théorème, 13, Une fiqure figure plane égale à la première, I Soit AB une droite quelconque, O le centre de symétrie, A' et B' les points symétriques de À et de B, Menons la droite A'B'. Les points A et A" étant symétriques, on a UA = OA; de même OB = O0B;", et les triangles OAP et OA’B' sont égaux comme ayant en O un angle éval Compris entre des côtés res bectivement égaux: donc le côté AB égale A'B", et ces droites sont parallèles, à cause des angles égaux OAB et OA’B" {ne 72), Soit EE’ une sécante quelconque mente par le c

plane quelconque a POUr Symélrique une autre

enire de syméü

of

par rap-

plan quelconque MN. La symétrique de ; et de cette à être

plan MN {no #10):

Es

BE

RE

trie: les triangles OAE et OA'E' sont égaux comme ayant un côté égal (OA, OA), adjacent à des angles respectivement égaux ; donc OE—OE" et les deux points E et E’ sont symétriques; ainsi les droites AB et A'B' sont symétriques, puisque chaque point de l’une a Son symétrique dans l’autre,

Donc une ligne droite a pour symélrique une autre ligne droite, égale et parallèle à la première.

2 Soit ABC un angle quelconque, O le centre de symétrie, A'B' et B'C' les droites symétriques de AB et de BC,

Les angles ABC et A'B'C’ sont égaux comme ayant les côtés respeclivement parallèles et dirigés tous les deux en sens opposés; de plus, les plans de ces angles sont parallèles. Donc un angle a pour Symélrique un autre angle égal au premier, el les plans de ces angles sont parallèles [no 320).

3 Soit le plan AC, et soit O le centre de symétrie, Par un point quelconque B pris dans ce plan, menons à volonté, dans ce même plan, les droites BA et BC, puis leurs symétriques B'A’ et B'C°.

Ces dernières droites sont parallèles aux premières {1er cas ci-dessus); ainsi les plans AC et A'C' sont parallèles, el un point quelconque de l’un a son symétrique dans l’autre, Donc un plan a pour symétrique un autre plan parallèle au premier,

% Soit le polygone plan ABCD, et soit O le centre de symétrie,

Si l’on prend les points A’, B’, C', D’, symétriques de A, B, C, D, les deux polygones ABCD et A'B'C'D’ ont les côtés respectivement égaux et parallèles; les angles sont respectivement égaux, et les plans AG et A'C' sont parallèles: ainsi ces polygones sont égaux, et leurs plans sont parallèles.

Donc, par rapport à un centre, une figure plane quelconque a pour symélrique une autre figure plane, égale et parallèle à la première.

Le théorème pourrait être démontré d'une manière analogue dans la symétrie par rapport à un plan; mais on remarquera que c’est seulement dans le cas d'un centre que les figures planes symétriques sont parallèles.

Proposition XXVII. — Théorème.

A1. Un angle dièdre a pour symélrique un autre angle dièdre égal au prenuer,

Car si l’on considère la symétrie par rapport à un centre O, chaque plan du dièdre AB a pour symétrique un plan qui lui est parallèle {no 443, %}, et ainsi les deux dièdres AB et A'B sont égaux {n° 329, 9),

por Cess

mme ayant un côté vement égaux; donc nétriques; ainsi les aque point de l’une

re ligne droite, égale > de symétrie, A'B'

BC et A'B'C' sont ayant les cotés resirallèles et dirigés on sens opposés; de de ces angles sont c un angle &« pour ulre angle égal au plans de ces angles (no 320).

trie. Par un point lé, dans ce même B'A’et B'C*.

res (ler cas ci-desn point quelconque lan «a pour symé-

ntre de symétrie,

es de A, B, C, D, tés respectivement égaux, et les plans nt égaux, et leurs

quelconque a pour lèle à la première.

ière analogue dans uera que c’est seulanes symétriques

le,

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0, chaque plan

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allèle {no 413, de},

èdres AB et A'B p)