LIVRE I, — LA DROITE ET LES ANGLES
Supposons ces deux triangles placés l'un sur l’autre d’un même côté de AB. L'angle CBC' est la différence entre les deux angles ABC et ABC’ des deux triangles; dans cet angle CBC’ menons la bissectrice BD, et la droite CD,
Les deux triangles BDG et BDC’ sont égaux, comme ayant un angle égal en B, un côté commun BD, et le côté BC égal à BC (n° 47, 20); done DC égale DC (no 48),
Dans le triangle ACD on a (n° 0}: AC<AD<DC et en remplaçant DC par DC’ AC<AD + DC!
ou AG < AC
Donc, lorsque deux triangles ont.
81. Réciproquement, lorsque deux triangles ont deux côtés respeclivement égaux, et que les troisièmes côtés sont inéqaux, les angles opposés à ces troisièmes côtés sont pareillement inégauæ, el au plus petit côlé se trouve opposé le plus petil angle.
Soient les deux triangles ABC et A'B'C/ ayant le côté AB égal à A’B',BC égal à h
B'C', et AC plus petit que A'C. es :
Si l’on supposait l'angle B égal à B',les B C
triangles seraient égaux comme ayant un A angle égal compris entre des côtés respeclivement égaux, et il en résulterait AC égal à AC’, ce qui est contraire à l'hypothèse, Si l’on supposait l'angle B plus grand que B: NT B', on aurait aussi, en vertu du théorème direct {ne 50), AC > A'C, ce qui est encore contraire à l'hypothèse, Ainsi l'angle B est plus petit que B'.
Donc, lorsque deux triangles ont deux côtés.
Proposition XIV. — Théorème.
52. Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés éqauæ sont égaux.
Soit ABC un triangle isocèle, et soient AB et AC les deux côtés égaux.
Menons la droite AD, du sommet au milieu de la base, Les deux triangles ADB et ADC sont égaux comme ayant les trois côtés res pectivement égaux (n° 47, de); donc l'angle B opposé au côté AD de l’un, égale l'angle C, opposé au côté AD de l’autre,
Donc, dans un triangle isocèle….
33, Réciproquement : Si deux angles d’un triangle sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont aussi égaux. Soit le triangle ABC dans lequel les deux angles B et C sont égaux. Il s’agit de prouver que le côté AB égale AC. Si l’on supposait que AB est plus petit que AC, on porterait la lon-
gueur CA’ égale à BA, el on mènerait BA’; les deux triangles ARC et A'CB auraient un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux, et ces deux triangles seraient égaux, ce qui est impossible, Donc si deux angles d'un triangle...
54, Corollaire, Un triangle équilatéral est équiangle, et réciproquement.
55, Scolie, Dans un triangle isocèle, la droite qui joint le sommet au milieu de la base remplit quatre conditions, dont deux suffisent pour la déterminer; de là découlent quatre propositions qui se trouvent toutes démontrées par l'une quelconque d'entre elles, et que l'on peul d'ailleurs établir séparément :
Ü6, Dans tout triangle isocèle :
1° La droite qui joint te Sommel au milieu de la base e diculaire à la base et bissectrice de l'angle du sommet ;
2 La perpendiculaire abuissée du sommet sur la base est bis de l'angle du sommet et divise la base en deux parties égales ;
3 La bissectrice de l'angle du sommet est Perpendiculaire au milieu de la base ;
1° La perpendiculaire élevée sur le milieu de la ba du sommet en deux parties égales,
st perpen-
sectrice
se divise l'angle
Proposition XV, — Théorème,
57. Dans un triangle quelconque, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté.
Soit le triangle ABC , dans lequel l'angle ABC est plus grand que l'angle C,
Si l’on fait l'angle m égal à C, on aura DB = DC (n° 53),
Le triangle ABD donne AB <AD + DB ; remplacons le côté DB par son égal DC, on aura AB < AD + DC ou AB NC, Donc dans un triangle quelconque...
58, Réciproquement : A un plus grand côté d'un L'iangle est opposé un plus grand angle.
Soit, dans le triangle ABC, le cûté b plus
A grand que le côté e; il faut prouver que l’an-
gle B est plus grand que l'angle C, En effet, si
l'on supposait l'angle B égal à l'angle C, les
e Q côtés b et c seraient égaux (n° 53), ce qui est contraire à l'hypothèse,
B C Si l'on supposait l'angle B plus petit que
l'angle €, on aurait, en vertu du théorème di-
recl (n° 57): b plus petit que c, ce qui est encore contraire à l'hypothèse,
égra el ain gle, Gl ang tan,
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triangles ARC respectivement ‘alent égaux, ce
angle...
équilatéral est
ocèle, la droite e la base remsuffisent pour uatre proposiémontrées par urs établir sé-
e sl perpen-
est bissectrice Sqales ; ulaire au mi-
divise l'angle
le est opposé
quel l'angle
on aura DB
< AD + DB ; sal DC, on
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cèté b plus 7 que l'an- En effet, si igle C, les Ce qui est
petit que éorème dihypothèse,
