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Or on peut appliquer à la limite ce qui est constamment vrai pour la

variable (n° 451), Done Le volume d'un secteur sphérique égale le liers du rayon multiplié par la sone correspondante à ce secteur,

ATT. Scolie, 1° La zone engendrée par l'arc AIB a pour expression 2mrh (n° 464); donc le rotume du secteur sphérique ég'ile ar2rrh = 2/3 mh, c'est-à-dire les 2/3 du cylindre #r:h qui a pour rayon le rayon de la Sphère, el pour hauteur la hauteur de la zone,

2 Deux secteurs sphériques appartenant à une méme sphère ou à des sphères égales, sont entre eux comme les hauteurs des zones correspondantes.

Proposition XX, — Théorème.

472. Le volume de la sphère égale le produit de sa surface par le tiers du rayon.

Car, dans le secteur circulaire AOB (figure précédente), l'angle des deux rayons OA et OB peut croître sans que la formule du volume engendré (n° 470) cesse d’être applicable. Si donc le rayon OA arrive en OM, et le rayon OB en ON, le volume engendré devient la sphère elle-même, et la zone correspondante devient la surface entière de la sphère, Donc.

Autre démonstration.

Considérons un polytdre quelconque circonscrit à La sphère, c’est-àdire dont loutes les faces soient langentes à la sphère, Ce polyèdre peut être décomposé en autant de pyramides qu'il y a de faces, avec le centre pour sommet commun: les hauteurs sont égales au rayon; et le volume du polyèdre égale le 1/3 du rayon multiplié par la somme des bases, c’est-à-dire par la surface totale,

EL si, par des sections faites langentiellement à la sphère, on coupe successivement les divers angles solides, le polyèdre s'arrondit peu à peu, ellend vers la sphère.

Ainsi la formule qui exprime le volume de ce polyèdre peut s'appliquer à la sphère qui en est la limite. Donc...

Scolie. 1° La surface de la sphère étant 4rr2, le volume est Ame .1/ar ou 4/37,

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