Scolie. Le rayon maximum F'A=4a+c, et le rayon minimum
FA=a—e, ze
Les deux tracés de l’ellipse montrent que la courbe est limitée en tous sens; l’ellipse est donc une courbe fermée.
Proposition I. — Théorème.
189. Lorsqu'un point est intérieur à l'lipse, la somme de ses distunces aux 2 foyers est moindre que 2a; lorsque le point est extérieur, cette méme somine est plus grande que 2a.
4 Joignons aux foyers un point intérieur quelconque G; prolongeons F'C jusqu'à la courbe, et menons MF; nous avons
CF+CF'<MF+ME" ou <24a
2 Joignons aux foyers un point extérieur quelconque D, et menons FN ; nous avons: DF+DE'>NF-+NF ou >2a. Donc.
490, Gorollaire. Selon que la somme des distances d’un point aux deux foyers est supérieure, ou inférieure, ou égale à 2a, le point esl extérieur ou intérieur à l'ellipse, ou appartient à cette courbe; el l'ellipse est un lieu géométrique.
Proposition II. — Théorème.
491. L'ellipse a pour axes la droite qui passe pr les foyers, et la perpendiculaire élevée au milieu de la droite qui joint les foyers: el elle a pour centre le point de rencontre des axes.
UE
onnaissant les foyers et lu milieu O de la distance ns OA=OA':=4; avec ont la somme égale 2, ix circoniérences, l’une omme centre, et l’autre les points d’intersection à l’ellipse.
1e Pour qu'il y ait interles deux circonférences, ait FF'> DA'— DA ou JA’.
OD ; d'où il suit que le
e des rayons égale FF", | F" sont tangentes en À
ont égaux, et ils déterit à la perpendiculaire
ec, et le rayon minimum a courbe est limitée en
LÉe,
ème.
se, la somme de ses dis-
rs est moindre que 2a;
st extérieur, cette méme
vande que 2a.
x foyers un point inté-
C; prolongeons F'C juset menons MF; nous
[F+ME" ou <2a
« foyers un point exté- D, et menons FN; nous Donc...
istances d’un point aux égale à 2a, le point esl ient à cette courbe; el
ème.
sse par les foyers, et lu
qui joint les foyers: el
Tes.
au milieu de Ffe points B et B, loyers; la longueur BO = 08; sente par b; et comme BF
plus petit que a. La droite AA’ 6 le grand ace de He
est le per: 0 j fo 4 pelil ae, Le triangle reclangle BOF Ournit la relation bite,
: Lorsque ET | Lorsque p
£rand axe.
Rent
Marc de cercle du poi D Uon de cet arc avec AA'f
ï La tangente à leurs 1 4 du point de contact,
LIVRE y IS C de J RE VIII, — LE COURBES USUELLES 203 Pot M un point Quelconque de le ; Culaires MP et MV, et la lie mt el prenons PM'= pl VN ke M, ON ” OM; nous détermi.
S ainsi les points symétriques de M Par l'apport 4 AÀ' à Be { au point O; il suffit de Prouver
que ces Points ê Le i L 1) art ? )] à le ur “ PI Ion nt à la
4 EF" est = , FR St perpendiculaire :
Me de MM; done Pau [h 4 nû == M'E"; d'où MF k ), = Lie l'ellipse (no 490) FMF=MF+MF = 24; donc M' est un
2 Les trapèzes rectan 1 $ lité ei pe Fe clangles OFMV et OF'NV sont supe égaux. I es trie £ guits donc ME — NF", et los anale, es. L angle égal FA de FFM et FF'N sont égaux” col AL que Ni LRU entre des côtés égaux: donc . ayant . ME, ona NF.2Np "arm 7, = MF" N appartient à l'ellipso, NF + NF" = MI + ME = 24
Jo Les droites MN' Nr/ M ] Dpor 5 MI ; el FE FE se Coupant e — EN'E" est un parallélogramme, et Les à n leu ainsi NF+ NE =MF ME:
ainsi le point N' appartient à La duibe. ME 2
Donc AA’ «4 BB' s ee B’ sont les axes, el leur interse
Iipse, Prolongeons le
8 perpendi-
rposables, car
un » Pl puis- ; donc le point
S Milieux, la figure
Clion est le centre de AT
112. Scolie. La Perpendiculaire élevée l'encontre la courbe aux également éloignés des se repré- ‘=4, on a b
su zu esl lellipse ; BB’ ou 2» en
Le rapport € ; APport — est l'excentrieité PI a St l'excentricité de l'ellipse; elle varie de 0 se ; arie de O0 à 1 l'ex 1h oil 3 ; XCentricité est nulle el l’ellipse 08 is | 2 , euipse est un cercle, » l'éXCentricité © =1, el l’ellipse ag ‘dui à ñ Ipse est réduite au
L'eliipse a quatre sommets : A
Pour déterminer Fu
les foyers 1
na YerS, Connaissant los axes Comme centre avec a
all Connaître F et F’
» Il faut décrire ur Pour rayon; l'intersec=
Proposition III, — Théorème
l'ellips: fait des imnqle CJAUL « ec es “1107 eC= s à tes ( l (4) l ? / is v 0 >
(Démonstration due à M. J, Serret | EUR e) ’L,
Comsidérons une sécante quelconque MM'; de l’un des foyers abaissons la perpendiwælaire FC, et prenons la ligne CF, égale à CF; menons FF; Joignons le point D au foyer EF, et di point M aux trois points F’,F, F,, Nous
Ro ——
