USUELLES

à cette Courbe; et

— Théorème.

abaissée qu foyer

Sommet de la courbe,

ellipse dont un

le grand axe croi

à DL; on a toujours ; À est le sommet,

er la parabole permet de déduire » la parabole, par

analogue à

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en Rs Re ser ones

paire à plie bg.

paques FORD à rer ES a ae

par rapport à la langente, passe au point de contact.

Proposition XXVII. — Théorème.

042. La tangente à la parabole fait des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact, et la parallèle à l'axe menée par ce méme point.

Considérons une sécante quelconque MM’; du foyer, abaissons la perpendiculaire FC, et prenons la ligne CF, égale à CF; par le point F; menons une parallèle à l'axe ; cette parallèle coupe la sécante au point D; menons les lignes qui indiquent les distances des points M et D au foyer et à la directrice,

La circonférence décrite du point M, avec le rayon MF— MP, est tangente à la directrice en P, et rencontre DH au point F, symétrique de F; ce point F, est donc situé entre la directrice et le foyer; donc DF; <DH.

Les obliques DF et DF, sont égales ; donc DF est moindre que DH. Le point D élant plus rapproché du foyer que de la directrice, est situé à l’intérieur de Ja courbe (n° 539); et la parallèle F,D passe loujours entre les points d'intersection M et M'; de plus, l'angle MDG=MDF,=MDF ; et cela a lieu quelque rapprochés que soient les points M et M'; mais à la limite, quand M’ se confond avec M, la sécante devient tangente, Donc.

543, Gorollaires. 1° La langente en un point M de la parabote est perpendiculaire au milieu de la droite FF, qui joint le foyer à la projection du point de contact sur la directrice: car le triangle FMF; a deux côtés égaux, et la tangente est bissectrice de l'angle au sommet {n° 56, 30),

2 Tous les points de la tangente à la parabole, sauf le point de contact ,; Sont hors de la courbe; car, d'après le théorème précédent, pour un point quelconque H de la tangente, ona HF = HF:

donc HF est plus grand que la perpendiculaire HL, et la parabole est une courbe convexe (n° 482),

544, Scolie. 1° Le foyer est à égale distance du point de contact et du point où la tangente coupe l'axe. Car le triangle MFT a deux angles égaux : l'angle T = T'MC— FMT ; done FM=FT,

20 La parallèle à l'axe, menée par le point F, symétrique du foyer

IE

‘orème,

les égaux avec le rayon à l'axe menée par ce

fcante quelconque MM; la perpendiculaire FC, 2F, égale à CF; par le > parallèle à l'axe ; cette cante au point D; meindiquent les distances au foyer et à la direc-

décrite du point M, MP, est tangente à la ‘encontre DH au point ; ce point F, est donc rice et le foyer; donc

F est moindre que DH.

1e de la directrice, est la parallèle F,D passe M'; de plus, l'angle rapprochés que soient se confond avec M, la

M de la parabole est 4 milieu de la droite yer à la projection du sr la directrice; car le eux côtés égaux, el la ctrice de l'angle au

‘8 de la tlangente à la joint de contact, sont car, d’après le (héopour un point quelente,ona HF=HF;:

rand que la perpendirabole est une courbe

lu point de contact et riangle MFT a deux EM=RT symélrique du foyer ontact.

loyer par ra que est la di

l'apport à la tangente MT ; l’axe menée Par le point F de contact (no 544) est perpendiculaire droite MF,=MF ; trique du foyer est

Points également € et d’un point F sit rence passe par Je Point F centre est dans Ja pa que de la directrice ; si le centre est sur la c si le centre est hors dela} de la directrice que 2 O0 bole rectrice; la per à la courbe: Je point de et de F,G parallèle