R° — 7° R° TL 9 R?

Mais R'— rt = (R?+ 92) (R°— 7»)

mu Er | ou Ve (hi) » R'— 7 2

Donc V

Proposition VIII. — Théorème.

un rapport constant, les volumes sont dans le même rapport.

A A m° Soient deux corps quelcorques M et N. Si l’on a Dep ret rapport

ordi con:

forn sont expi

cons tang sero!

soit

est à

So ABA tour

volur

donc

€ AD 3, et puls- constant, les volumes des corps cylindriques ou prismatiques construits sur les AP n diverses sections ayant des hauteurs égales, sont entre eux comme leurs bases ; e + 7: —, d'où n =RR',— =TR'h.n

il en est de même pour leurs sommes respectives, et par suite pour les limites

vers lesquelles tendent ces sommes; done — =

589, Corollaire. Lorsque deux Courbes planes BM et DN iont telles que les ordonnées correspondantes sont dans un rapport constant, les volumes des corps de révolution formés par les surfaces planes ABMP et ADNP sont entre eux comme les carrés des quantités qui expriment le rapport constant,

: : AB MP "” En effet, si l'on a ==, rapport (1

t au cylindre qui « des bases du tronc

* la révolution comt

4 le volume formé

AD NP constant, les cylindres engendrés par deux rectangles ABCF et ADEF de même hauteur AF, seront dans le rapport des carrés des rayons, AB* m2 m° i soit 7, ==, Les sections correspondantes étant dans le rapport — , il en

AD° n° n°

tation de BMNC

R: À S(n°551) — — est de même pour les volumes, T°

AB hR° pra R'—7 Proposition IX. — Théorème.

a OR

590, Le volume de l'ellipsoïde allongé — 4/3 rab?, Soit l'ellipsoïde AA’ formé par la rotation de ABA', Le cercle principal ADA', en tournant autour du même axe AA’ » engendre la sphère 4/3 ras,

Pour un point quelconque M de l'ellipse et pour: MP NP donc les sections correspondantes , et par suite les

es valeurs trouvées :

le point N du cercle, on a :

1? (no 505); (0

volumes engendrés sont dans le rapport — (no 589); a?

ellipsoïde b? 14 donc sd EU —

sphère a?

ellipsoïde = sphère X = 4 Û

591. Corollaire. Un segment quelconc ue d'ellipsoïde est au segment sphé. 1 Il l

b* : ’ rique correspondant dans le rapport —; ainsi le segment sphérique NAN = (12

rNP°'x AP \p° : M (EX A+ Tan)

— ; donc le segment MAM .

BH Np?

En désignant AP par k et PM par R, comme R° ou MP2: nu, ON D:

TR°h D Th" 2 aa L 6 Ainsi le segment de l'ellipsoïde est équivalent à la moitié du cylindre de

même base et de même hauteur plus l'ellipsoïde allongé qui aurait la hauteur du segment pour grand axe,

segment de l'ellilpwoïde ==

L'ellipsoïde est semblable au proposé,

Proposition X, — Théorème.

Le volume de l'ellipsoïde aplati —=4 a Tab,

Dans la rotation autour de BB, le demi-cercle en-

gendre la sphère 4/37b", et BAB' l'ellipsoïde aplatt, MV

«a On a TV

3 (n° 506, 2°); donc :

ellpsoïde «°

sphère

4 = 4 d'où ellipsoïde aplati = nrb*, : == 3 Tab.

Scolie. Les formules données pour les deux ellipsoïdes peuvent être réunies

( dans l'énoncé suivant :

Le volume formé par la révolution d'une demi-ellipse autour de l'axe qui la $ limite, s'obtient en multipliant tes 4 3 de R par la moitié de l'axe autour du- ! quel s'effectue la rotation, et par le carré de la moitié de l'autre axe.

a Proposition XI, — Théorème. à

593, Le segment à deux bases de l'hyperboloïde à une nappe est équivalent à un cylindre de même hauteur, et dont la base égale les 2/3 de la section menée par le centre du corps de révotution , plus le 1/3 de la seconde base du segment = considéré, (Même résultat pour le segment d'ellipsoïde.) d’

1° Cherchons le volume engendré par l’hyperbole équilatère AM, dans sa ro- sn tation autour de l'axe non transverse.

Soient AO—a=R; OP — h, PM=R, L'hyperbole équilatère a pour équa- ple tion (n°575) D --Y =; d'où = a+ 7 @)

Divisons À en nr parties égales, et cherchons la somme des cylindres qui

h ont pour hauteur, et pour rayons de base les diverses abscisses CE, FH,etc, pet (12 pr 2 4 m2 k àu Le ie a pour volume nmCE°XCO ou rCE Des î Te — C Le 2e a pour volume TFH°XCF onu TFH°. = etc. ; égai

o est au segment sphé-

nent sphérique NAN'=

RTNP'SXAP rAp*

TNP'x AP, ? P-) 2 6 BNP?

[ Pa: sept AE 4:

moitié du cylindre de 6 qui aurait la hauteur

BB, le demi-cercle en- AB l'ellipsoïde aplatt,

once :

= Lab = 3 Tab.

es peuvent être réunies

autour de l'axe qui la tié de l'axe autour du- > l'autre are,

nappe est équivalent à /3 de la section menée conde base du segment

atère AM, dans sa ro-

iquilatère a pour équa- () nme des cylindres qui

abscisses CE, FH, etc,

La 1re partio so

deuxième, 7 Sh° h° ns ® Dour limite 1/3: donc V= 7h a + =

de remarquer

M = py*°

" ; —<), Où V= Th, 3 (3) 0

2 L'hyperbole quelconque sl (ho 574) donne . = 1 + He.

da° b? . a> ] 1

a? ne

d'où 2 2 + peU's au lieu de æ°— + y de l'hyperbole équilatère, Par He: suite, pour appliquer Ja formule (2) à l'hyp

lacer ki t er ac ar l 3 | Mais la formule (3) ne perbole quelconque, PM° on R':

2+ 'a à une nappe = 7. 2h = .

Ce volume est équivalent à e égale les 2/3 qe rh: plus

&- A Et le dernier rPM°,"

n les diverses ab a relation (1), 2

Pour calculer les Carrés € sCisses, 11 faut remplacer dans] par CE", et TE

par OC* où Puis & par FH*, ot

ou » Ote, n

Y* par OF"

4+4 À { Done CE‘ = 2 + æ n° Et le 1er cylindre =" (a+ de ) ñ n° ou Th (+0,21 ) n n°

De même FH°= qu + 4°

T À 3 (o+t) ou a (° + h: 4), ete, ; 2 n° n n°

Et le 2e cylinare —

—, 22 Enfin PM° = go T7 ni

Et le dernier Cylindre

Mettons x} en facteur commun; le

volume total égale a* a* — +

, dun Th ut a + p°1 4 dun ) n

hate

compose de x termes égaux à 1! elle égale donc @'; dans la x 4, + m2 a pour multiplicateur Ja fraction Es

75? Mais (no 581) n*

(2) ayons des bases du segment , il suffit de l'hyperbole : PM° = 42 + R°3 d'où 3a? M * 2 -&; donc V = +} (E£ + EE, £

Pour exprimer le volume en fonction des r

que d'après l'équation

erboloïde quelconque, É a 2) *,: Ct l'on a : Væ=m(a+ bd 3 L L° 3 (4) à encore a = R2

il faut rem-

change Point, car on ; et dans l'hy-

a PT Le HE M: donc le volume de inyperboloïde b*

elui d'un

Cylindre de hauteur h, le 1/3 de nr’?

et dont la base

Scolie. Le cercle æ+y = a donne à°= a? y", Sauf lo signe du dernier terme, c'est le même résultat que pour l’hyperboloïde équilatére ; donc le volume du segment sphérique à deux bases, iorsqu'une des sections passe par

le centre est donné par la formule V = 7h (c — É ) (2 bis) 2R°+ R':

ou V = mn 2 R (3 bis)

La formule (3) ne change point, car dans lo cercle PM*=— œ—h, PM°—@=— k°, et en remplaçant dans (2 bis), — }* par sa valeur, on retrouve la formule (3).

Lorsque } = « ou R, la base dont R' est le rayon 6st nulle, on n un hémisphère, et les deux formules (2 bis) et (3 bis) donnent V = 2/37",

Pour le tronc à deux bases d’ellipsoïde on trouve !

(4 bis)

Proposition XII. — Théorème.

594, Le volume du segment à une base de l'hyperbototde & deux nappes est équivalent à la moitié du cylindre de même base et de même hanteur, moins l'ellipsoïide allongé qui aurait la hauteur du segment pour grand are, et dont les axes seraient proportionnels à ceux de l'hyperboloïde,

1° Cherchons le volume engendré par .M l'hyperbole équilatére AM dans sa rotation

autour de l'axe tranaverxc, Soient AOZ=4&4, AP=} ct PM=R.

L’hyperbole équiatére «à pour équation

(n°0 575) à — jp = à y d'où = a — a, Divisons 4 en » parties égales, et cher-

h chons la somme des cylindres qui ont n Poi à

hauteur, et pour rayons de base les diverses ordonnées DI,,, MP; bornons- nous

1), Ce cylindre

à développer un seul terme (n° 584), celui de rang (mn

= , On = 1)} =TrVN*. 1 ; en remplaçant OV par sa valeur a+ = , Ja relation n ) = a— a devient :

—— n—1)h \: n — 1 (n—1)1 y où VN° = (a de . ) — = + ah + Ju" n 0 = n (1 n° ns n —1 (n— 1) ou VN° = 90h —> + po = n 1

+a Ù : n--1 (n--1) j Le cylindre T7 VN . à égale donc : TA (C7 — + n°7 : ) lorsqu'on n°

introduit # dans la parenthèse, La somme des cylindres égale la quantité